数值通量在DG-FEM中的作用

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我正在使用Hesthaven / Warburton的书学习DG-FEM方法背后的理论，并对“数值通量”的作用有些困惑。对于这是一个基本问题，我深表歉意，但是我已经找到了，但没有找到满意的答案。

考虑线性标量波动方程：其中线性通量给定为。

\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial f (u)}{\partial x} = 0

$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial f(u)}{\partial x} = 0$

f (u) = a u

$f(u) = au$

正如Hesthaven的书中所介绍的，对于每个元素，我们最终得到方程，每个基函数一个，强制残差几乎消失： $k$ $N$

R_{h} (x, t) = \frac{\partial u_{h}}{\partial t} + \frac{\partial a u_{h}}{\partial x}

$R_h(x,t) = \frac{\partial u_h}{\partial t} + \frac{\partial au_h}{\partial x}$

\int_{D^{k}} R_{h} (x, t) ψ_{n} (x) d x = 0

$\int_{D^k} R_h(x,t) \psi_n(x) \, dx = 0$

精细。因此，我们要进行一次部分集成以得出“弱形式”（1），然后进行两次部分集成以获得“强形式”（2）。我将在1D中采用Hesthaven的过大但容易推广的曲面积分形式：

（1）

\int_{D^{k}} (\frac{\partial u_{h}^{k}}{\partial t} ψ_{n} - a u_{h}^{k} \frac{d ψ_{n}}{d x}) d x = - \int_{\partial D^{k}} \hat{n} \cdot (a u_{h})^{*} ψ_{n} d x 1 \leq n \leq N

$\int_{D^k} \left( \frac{\partial u_h^k}{\partial t} \psi_n-au_h^k\frac{d \psi_n}{d x} \right)\, dx = - \int_{\partial D^k} \hat{n}\cdot(au_h)^*\psi_n \,dx \qquad 1 \leq n\leq N$

（2）

\int_{D^{k}} R_{h} ψ_{n} d x = \int_{\partial D^{k}} \hat{n} \cdot (a u_{h}^{k} - (a u_{h})^{*}) ψ_{n} d x 1 \leq n \leq N

$\int_{D^k} R_h \psi_n\, dx = \int_{\partial D^k} \hat{n}\cdot \left( au_h^k-(au_h)^* \right)\psi_n \,dx \qquad 1 \leq n\leq N$

为什么选择数字通量？我们为什么不使用的值在（1）的边界，而不是使用助焊剂？是的，的确可以在多个元素上多次定义此数量的值，但是每个等式仅超过1个元素，那为什么这么重要？ $au_h^k$ $D^k$

另外，通过零件的第二积分的边界清楚地术语产生不同数量（2）中的第二时间，这是没有意义的我。我们正在做同样的操作！为什么两个边界项不只是抵消而使（2）变得无用？我们如何引入新信息？ $au_h^k$

显然，我缺少对该方法至关重要的内容，并且我想解决此问题。我已经进行了一些实际的和功能的分析，因此，如果有关于配方的更多基于理论的答案，我想知道！

finite-element discontinuous-galerkin

— 用户名
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6

选择数值通量以确保

守恒的原因之一。如果对于每个共享边界的元素，边界处的通量都不相同，

一个元素流出的

量将不同于流入相邻元素的

量。这通常是不希望的，因为您正在建模一个保守的输运方程。

u

$u$

u

$u$

— 泰勒·奥尔森

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与泰勒的评论有关，但海事组织更重要：通量还引入了不同子问题之间的耦合。否则，就不会有离散意义上的信息传播。

— Christian Waluga '16

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选择数字通量以确保问题中的信息沿方程式的特征曲线（上风）方向传播。如评论中所述，数值通量是必要的，以便耦合每个元素上定义的子问题。

直观了解数值通量的作用的一种方法是考虑以下简单示例。

考虑标量平流方程（其中为了简化 $a=1$ ）

\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial x} = 0 on Ω,

$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial x} = 0 \qquad\text{on $\Omega$},$

Ω = [0, 1]

$\Omega = [0,1]$

x = 0

$x = 0$

x = 1

$x = 1$

u (0, t) = g_{D}

$u(0,t) = g_D$

g_{D}

$g_D$

$D_1 = [0,1/2]$ $D_2 = [1/2,1]$

\begin{aligned} (PDE 1): & v_{t} + v_{x} & = 0 on D_{1}, \\ (PDE 2): & w_{t} + w_{x} & = 0 on D_{2}, \end{aligned}

$\begin{align*} \text{(PDE 1):}&& \quad v_t + v_x &= 0 \quad\text{on $D_1$},\\ \text{(PDE 2):}&& \quad w_t + w_x &= 0 \quad\text{on $D_2$}, \end{align*}$

$D_1$ $D_2$

$D_1$ $v(0,t) = g_D$ $D_2$ $w(1/2,t) = v(1/2,t)$

$\psi$ $D_k$

\begin{aligned} \int_{\partial D_{1}} \hat{n} \cdot v ψ d x & = {[v ψ]}_{0}^{1 / 2} \\ \int_{\partial D_{2}} \hat{n} \cdot w ψ d x & = {[w ψ]}_{1 / 2}^{1} \end{aligned}

$\begin{align*} \int_{\partial D_1} \hat{n} \cdot v \psi \, dx &= \left[ v\psi \right]_0^{1/2}\\ \int_{\partial D_2} \hat{n} \cdot w \psi \, dx &= \left[ w\psi\right]_{1/2}^1 \\ \end{align*}$

v

$v$

w

$w$

D_{1}

$D_1$

D_{2}

$D_2$

v (0, t)

$v(0,t)$

g_{D}

$g_D$

w (1 / 2, t)

$w(1/2,t)$

v (1 / 2, t)

$v(1/2,t)$

$u_h^* = g_D$ $x = 0$ $u_h^* = v(1/2,t)$ $x=1/2$

以这种方式看待事物，我们可以将数值通量函数认为是弱化了每个元素的边界条件，而这些条件是耦合方程式所需的，因此要尊重方程式的特征结构。

对于比恒定系数对流更复杂的方程，信息可能不会始终沿同一方向传播，因此，必须通过在界面处求解（或近似求解）黎曼问题来确定数值通量。在Hesthaven的书的2.4节中讨论了线性问题。

— 威尔·P
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粗略地说，大多数离散化技术在提高近似质量时都需要满足以下两个条件，以收敛到PDE的实际解，无论是否使用DG：

$u$
稳定性（数据的微小变化会导致答案的微小变化）

DG派生的第一步是在每个网格元素上按零件进行积分，因此保留（1），因为您是从PDE开始并且仅从那里应用合法操作。

但是，这不会给您（2）。通过尝试组装部分公式化的DG弱形式的矩阵并查看其特征值，您可以自己看到这一点-对于与时间有关的问题，我们希望它们全部位于左半平面上，但是如果没有适当的数值通量，它们将无处不在。即使物理问题没有发生，这也导致解决方案及时爆炸。

$u$

诀窍是采用跳跃和平均值的组合，并以使方案仍然一致但又稳定的方式将它们组合起来。之后，收敛定理通常会显示出来。

这是基础知识，但是您也可以经常在数字通量中引入其他物理原理，这样它不仅可以满足这些数学要求，而且还可以很好地遵循守恒原理。

— 里德·阿切森
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当您选择与DG方法中的试验功能相同的测试功能时，您正在创建一个优化问题。也就是说，您使用的是Galerkin方法而不是Petrov-Galerkin方法。您正在寻找试验函数振幅的时间导数，以使L2范数中的元素残差最小化，并且在流入时给定通量函数的假设下进行了最小化。

— 菲利普·罗
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