查找哪些三角形点在

假设我有一个由非重叠三角形组成的2D网格，以及一组点。确定每个点位于哪个三角形的最佳方法是什么？ { p 我} 中号我= 1 ⊂ ∪ Ñ ķ = 1 Ť $\{T_k\}_{k=1}^N$$\{p_i\}_{i=1}^M \subset \cup_{k=1}^N T_K$

例如，下面的图像中，我们有，，，所以我想的函数该返回列表。p 2 ∈ Ť 4 p 3 ∈ Ť 2 ˚F ˚F （p 1，p 2，p 3）= [ 2 ，4 ，2 $p_1 \in T_2$$p_2 \in T_4$$p_3 \in T_2$$f$$f(p_1,p_2,p_3)=[2,4,2]$

Matlab具有功能Pointlocation，它可以为Delaunay网格实现我想要的功能，但对于普通网格却无法实现。

我的第一个（愚蠢的）想法是，对于所有节点，遍历所有三角形以找出哪个三角形在其中。但是，这种方法效率极低-您可能必须遍历每个点的每个三角形，所以它可以承担工作。$p_i$$p_i$$O(N \cdot M)$

我的下一个想法是，对于所有点，通过最近邻居搜索找到最近的网格节点，然后通过附加到该最近节点的三角形查看。在这种情况下，工作将是，其中是连接到网格中任何节点的三角形的最大数量。这种方法有几个可解决但令人讨厌的问题，$p_i$$O(a\cdot M\cdot log(N))$$a$

• 它要求实现有效的最近邻居搜索（或查找具有该功能的库），这可能是一项不平凡的任务。
• 它需要存储一个三角形列表，每个三角形都附加到每个节点上，而我的代码当前尚未设置该列表-现在只有一个节点坐标列表和一个元素列表。

总体而言，这似乎不太雅致，我认为应该有更好的方法。这肯定是一个经常出现的问题，所以我想知道是否有人可以推荐最佳的方法来找到节点在理论上或在可用库方面的三角形。

谢谢！

通常的随机边缘跳变方法应该起作用。基本上，从网格的任何三角形开始，然后确定目标点位于哪条边的相对侧。也就是说，确定哪些边缘在延伸到一条线时将点与三角形的内部分开。当有两种可能性时，随机选择一种，然后考虑与该共享边相邻的三角形，然后重复。随机化应该使该方法对于Delaunay三角剖分收敛为1的概率，我想不出对任意三角剖分均无效的原因。

编辑：我应该补充一点，对于单个点，边跳应该为并且具有一个合理的常数，因此对于M点，它的跳变应该为O （M log N ）。但是，如果您按地点对点排序（例如首先使用希尔伯特曲线排序），则可以使用上一个查询的三角形初始化每个新查询，以进一步减少运行时间（我不是CS理论家，所以我可以）告诉你大O将在那里）。$O(\log N)$$O(M \log N)$$M$

Edit2：找到此PDF，描述了这样的“行走”方案，可以保证终止方案，并回顾了更为幼稚的方法。

使用四叉树的另一种替代方法是使用“三角剖分”层次结构。参见Olivier Devillers。改进的增量随机Delaunay三角剖分。在过程中。14日。ACM座谈会。计算 Geom。，第106-115页，1998年。它最适用于Delaunay三角剖分，但也适用于非Delaunay。

基本上，您要做的任何加快点定位的操作都需要构造辅助数据结构。对于四叉树或其他空间细分，您需要构建细分树。如果是边跳边，则需要在拓扑结构附近建立三角形。三角剖分层次结构还需要构建一棵更粗的三角剖分树。

我不相信您的解决方案实际上是正确的。考虑一下您拥有以下节点的情况：

• 答：（-3，1）
• B：（0、2）
• C：（3，1）
• D：（0，-5）

有三角形ABC和ACD。现在，B是最接近原点的点，但是原点位于不包含B的三角形ACD中。

$O(N \cdot M)$

我会考虑构建包含三角形本身的四叉树的选项。即，您有一个存储在每个节点（对应于边界框）中的四元树：

• 框被分割时的坐标，或者四个子树的边界框；
• 指向子树的指针；
• 三角形的集合完全落在此矩形的边界框中，但不完全落在四个子树的任何一个中。换句话说，与四叉树的两个细分线段中的任意一个相交的三角形。

$\sqrt{n}$$n$$\log n$$O(N\cdot M)$

CGAL处理三角剖分和点位置（还有更多）。特别是2D三角剖分模块可以完成您想做的事情。