为何不反转矩阵的实际示例

我知道将矩阵求逆来求解线性系统不是一个好主意，因为它不如直接求解该系统或使用LU，Cholesky或QR分解那样准确和有效。

但是，我无法通过一个实际的例子进行验证。我已经尝试过此代码（在MATLAB中）

M   = 500;    
A   = rand(M,M);
A   = real(expm(1i*(A+A.')));
b   = rand(M,1);

x1  = A\b;
x2  = inv(A)*b;

disp(norm(b-A*x1))
disp(norm(b-A*x2))

并且残差总是相同的阶数（10 ^ -13）。

有人可以提供一个实际的例子，其中inv（A）* b的准确度远小于A \ b吗？

------问题更新------

谢谢您的回答。但是，假设我们必须求解次系统，其中始终是相同的矩阵。考虑一下 $n$ $Ax = b$ $A$

-已满，因此需要存储器存储比相同。 $A$ $A^{-1}$ $A$

条件数较小，因此可以精确计算。 $A$ $A^{-1}$

在那种情况下，计算比使用LU分解会更有效吗？例如，我已经尝试过以下Matlab代码： $A^{-1}$

%Set A and b:
M           = 1000; 
A           = rand(M,M);
A           = real(expm(1i*(A+A.')));
b           = rand(M,1);

%Times we solve the system:
n           = 3000;

%Performing LU decomposition:
disp('Performing LU decomposition')
tic
[L,U,P]     = lu(A);
toc
fprintf('\n')

%Solving the system n times with LU decomposition:
optsL.LT    = true;   %Options for linsolve
optsU.UT    = true;
disp('Solving the system n times using LU decomposition')
tic
for ii=1:n
    x1      = linsolve(U, linsolve(L,P*b,optsL) , optsU);
end
toc
fprintf('\n')

%Computing inverse of A:
disp('Computing inverse of A')
tic
Ainv        = inv(A);
toc
fprintf('\n')

%Solving the system n times with Ainv:
disp('Solving the system n times with A inv')
tic
for ii=1:n
    x2  = Ainv*b;
end
toc
fprintf('\n')

disp('Residuals')
disp(norm(b-A*x1))
disp(norm(b-A*x2))

disp('Condition number of A')
disp(cond(A))

对于条件数约为450的矩阵，两种情况下的残差均为，但是使用LU分解将系统求解n次需要19秒，而使用A的逆仅需9秒。 $O(10^{-11})$

matrix accuracy inverse

— 马努
source

MATLAB inv帮助页面提供了一个很好的示例。查看标题为“ 求解线性系统 ”的部分。

— GoHokies

顺便说一句，您的矩阵的条件数是多少？我的PC上没有MATLAB，因此无法检查，但我认为它很小，可以让您获得准确的逆数...

A

$A$

— GoHokies

我看了Trefethen和Bau（练习21.4），他们纯粹用计算成本来描述它，即触发器与触发器。因此，即使您发现残差相似（您是否尝试过检查条件更差的矩阵，如GoHokies的评论？），仅是不必要的计算成本就值得考虑。

2 n^{3}

$2n^3$

\frac{2}{3} n^{3}

$\frac23 n^3$

— 基里尔

您的矩阵大小太小，无法进行比较。并不是说您拥有这样的矩阵并不存在相关的问题，但是您收到的您不应该求逆的观点是针对另一种设置的（例如，克里斯·拉卡卡斯（Chris Rackauckas）在回答中提到的一种设置）。实际上，对于条件良好的小型矩阵（确实是条件良好的矩阵），计算逆数确实是更好的选择。极端情况是3x3旋转（或更实际地，仿射变换）矩阵。

— Christian Clason

如果您需要Ax=b用相同的方法反复求解，A并且它足够小以求逆，则可以保存LU分解并重复使用。

— 克里斯·拉科卡斯

Answers:

通常，出于某些原因，倾向于使用线性方程组来求解线性系统。简要地：

条件编号有问题（@GoHokies评论）
稀疏情况下的问题（@ChrisRackauckas答案）
效率（@Kirill评论）

无论如何，正如@ChristianClason在评论中指出的那样，在某些情况下，使用反函数是一个不错的选择。

在Sivan Toledo的Alex Druinsky的注释/文章中，inv（A）* b的精确度如何？关于这个问题有一些考虑。

根据本文，普遍偏爱使用线性系统的主要原因是在这两个估计值之内（是真实解）： $x$

逆 | | X_{V} - X | | \leq Ø （ κ^{2} （ 一种 ） ϵ_{米 一种 C H 一世 ñ Ë} ） 向后稳定（LU，QR等） | | X_{b 一种 C ķ w 一种 [R d - s Ť 一种 b 升 Ë} - X | | \leq Ø （ κ （ 一种 ） ϵ_{米 一种 C H 一世 ñ Ë} ）

$\text{inverse} \quad || x_V - x || \leq O(\kappa^2(A) \epsilon_{machine})\\ \text{ backward stable (LU, QR,...)} \quad || x_{backward-stable} - x || \leq O(\kappa(A) \epsilon_{machine})$

现在，在一定条件下可以提高逆估计值，请参见本文中的定理1，但可以有条件地精确且不向后稳定。 $x_V$

本文显示了发生这种情况的情况（为倒数） $V$

（1）不是一个好的右逆，或 $V$

（2）如此差的左逆，所以比小得多，要么 $V$ $||x_V||$ $||x||$

（3）在与小奇异值关联的的左奇异矢量上的投影很小。 $b$ $A$

因此，是否有可能使用反函数取决于应用程序，您可以查看文章并确定是否满足获得向后稳定性的条件，或者是否不需要它。

总的来说，我认为，线性系统更安全。

— 毛罗·范泽托（Mauro Vanzetto）
source

$\Delta u$

ü_{Ť} = Δ ü + F （ Ť ， ü ） 。

$u_t = \Delta u + f(t,u) .$

$A$

ü_{Ť} = 一种 ü + F （ Ť ， ü ）

$u_t = Au + f(t,u)$

$A$ $I-\gamma A$ SpecialMatrices.jl

julia> using SpecialMatrices
julia> Strang(5)
5×5 SpecialMatrices.Strang{Float64}:
 2.0  -1.0   0.0   0.0   0.0
-1.0   2.0  -1.0   0.0   0.0
 0.0  -1.0   2.0  -1.0   0.0
 0.0   0.0  -1.0   2.0  -1.0
 0.0   0.0   0.0  -1.0   2.0

$n$ $\mathcal{O}(3n)$ $\mathcal{O}(1)$

但是，假设我们要反转矩阵。

julia> inv(collect(Strang(5)))
5×5 Array{Float64,2}:
 0.833333  0.666667  0.5  0.333333  0.166667
 0.666667  1.33333   1.0  0.666667  0.333333
 0.5       1.0       1.5  1.0       0.5
 0.333333  0.666667  1.0  1.33333   0.666667
 0.166667  0.333333  0.5  0.666667  0.833333

$\mathcal{O}(n^2)$

\IterativeSolvers.jl $Ax=b$ $A^{-1}$ $A$

正如其他人提到的那样，条件数和数值误差是另一个原因，但是稀疏矩阵的逆是密集的这一事实非常清楚地表明“这是一个坏主意”。

— 克里斯·拉考卡斯（Chris Rackauckas）
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