显式欧拉方法对于反应扩散问题太慢

我正在使用以下C ++代码解决Turing的反应扩散系统。它太慢了：对于128x128像素纹理，可接受的迭代次数为200 –导致2.5秒的延迟。我需要进行400次迭代才能获得有趣的图像-但是等待5秒钟太多了。同样，纹理的大小实际上应为512x512-但这会导致大量的等待时间。设备是iPad，iPod。

有没有机会更快地做到这一点？欧拉方法收敛缓慢（维基百科）–使用更快的方法可以减少迭代次数吗？

编辑：正如托马斯·克里姆佩尔（Thomas Klimpel）所指出的，这些行：“ if（m_An [i] [j] <0.0）{...}”，“ if（m_Bn [i] [j] <0.0）{...}”延迟收敛：移除后，经过75次迭代后会出现有意义的图像。我在下面的代码中注释掉了这些行。

void TuringSystem::solve( int iterations, double CA, double CB ) {
    m_iterations = iterations;
    m_CA = CA;
    m_CB = CB;

    solveProcess();
}

void set_torus( int & x_plus1, int & x_minus1, int x, int size ) {
    // Wrap "edges"
    x_plus1 = x+1;
    x_minus1 = x-1;
    if( x == size - 1 ) { x_plus1 = 0; }
    if( x == 0 ) { x_minus1 = size - 1; }
}

void TuringSystem::solveProcess() {
    int n, i, j, i_add1, i_sub1, j_add1, j_sub1;
    double DiA, ReA, DiB, ReB;

    // uses Euler's method to solve the diff eqns
    for( n=0; n < m_iterations; ++n ) {
        for( i=0; i < m_height; ++i ) {
            set_torus(i_add1, i_sub1, i, m_height);

            for( j=0; j < m_width; ++j ) {
                set_torus(j_add1, j_sub1, j, m_width);

                // Component A
                DiA = m_CA * ( m_Ao[i_add1][j] - 2.0 * m_Ao[i][j] + m_Ao[i_sub1][j]   +   m_Ao[i][j_add1] - 2.0 * m_Ao[i][j] + m_Ao[i][j_sub1] );
                ReA = m_Ao[i][j] * m_Bo[i][j] - m_Ao[i][j] - 12.0;
                m_An[i][j] = m_Ao[i][j] + 0.01 * (ReA + DiA);
                // if( m_An[i][j] < 0.0 ) { m_An[i][j] = 0.0; }

                // Component B
                DiB = m_CB * ( m_Bo[i_add1][j] - 2.0 * m_Bo[i][j] + m_Bo[i_sub1][j]   +   m_Bo[i][j_add1] - 2.0 * m_Bo[i][j] + m_Bo[i][j_sub1] );
                ReB = 16.0 - m_Ao[i][j] * m_Bo[i][j];
                m_Bn[i][j] = m_Bo[i][j] + 0.01 * (ReB + DiB);
                // if( m_Bn[i][j] < 0.0 ) { m_Bn[i][j]=0.0; }
            }
        }

        // Swap Ao for An, Bo for Bn
        swapBuffers();
    }
}

您似乎受到稳定性的限制，这是可以预期的，因为在优化网格时扩散会很困难。刚性系统的好方法至少是部分隐含的。这将需要一些努力，但是您可以实现一个简单的多网格算法（或使用库）来解决此系统，其成本少于10个“工作单元”（基本上是一个时间步的成本）。优化网格时，迭代次数不会增加。

从实际的角度来看：A5处理器功能不那么强大，因此您可以等待几次硬件迭代，或者如果您的ipod / ipad要连接到互联网，则可以远程或在云中解决问题。

相对于其他方法，Euler的收敛速度很慢，但是我不认为这是您感兴趣的。如果您只是在寻找“有趣的”图像，请增加时间步长并减少迭代次数。正如杰德（Jed）所指出的那样，问题在于，显式欧拉方法存在稳定性问题，并且与网格大小相关的时间步长较大。网格越小（即图像的分辨率越高），说明它的时间步长就越小。

例如，通过使用隐式euler而不是显式的euler，您不会获得任何收敛阶数，但是该解决方案将具有无条件的稳定性，从而允许更大的时间步长。隐式方法的实现更加复杂，并且每个时间步长都要进行更多的计算，但是您应该发现，通过总共减少步长，可以大大提高隐含方法的收益。