对于嘈杂或结构精细的数据，有没有比中点法则更好的正交？

这个长问题的仅前两个部分是必不可少的。其他仅用于说明。

背景

较高阶的正交函数，例如更高阶的牛顿-科茨复合材料，高斯-莱根特雷和罗姆贝格复合材料，似乎主要用于那些可以对函数进行精细采样而不能进行分析集成的情况。但是，对于具有比采样间隔（例如，请参阅附录A）或测量噪声更精细的结构的函数，它们无法与简单的方法（例如中点或梯形规则）（请参见附录B进行演示）竞争。

这有点直观，例如，复合Simpson规则通过分配较低的权重实质上“丢弃”了四分之一的信息。这样的正交对于足够无聊的功能更好的唯一原因是，正确处理边界效应要大于丢弃信息的效应。从另一角度看，从我的直觉上很清楚，对于具有精细结构或噪声的函数，远离积分域边界的样本必须几乎等距且权重几乎相同（对于大量样本而言） ）。另一方面，更好地处理边界效果（与中点方法相比）可能会受益于此类函数的正交。

题

假设我希望在数值上整合嘈杂或精细结构的一维数据。

采样点的数量是固定的（由于功能评估成本很高），但是我可以自由放置它们。但是，我（或方法）不能交互地放置采样点，即基于其他采样点的结果。我也不事先知道潜在的问题区域。因此，像Gauß–Legendre（非等距采样点）之类的东西就可以了。自适应正交不是必需的，因为它需要交互式放置采样点。

• 在这种情况下，是否建议使用任何超出中点方法的方法？

• 或者：是否有任何证据证明在这种情况下中点方法是最好的？

• 更笼统地说：关于此问题是否已有任何工作？

附录A：精细结构函数的特定示例

我想为估算： 其中和。一个典型的函数如下所示：$\int_0^1f(t)\, \mathrm{d}t$

$$f(t) = \sum_{i=1}^{k} \frac{\sin(ω_i t-φ_i)}{ω_i},$$ $φ_i∈ [0,2π]$$\log{ω_i} ∈ [1,1000]$

我为以下属性选择了此功能：

• 可以对控制结果进行分析集成。
• 它在某种程度上具有良好的结构，使得无法使用我正在使用的样本数量（）捕获全部。$<10^2$
• 它并不以其精细的结构为主导。

附录B：基准

为了完整起见，这是Python中的基准测试：

import numpy as np
from numpy.random import uniform
from scipy.integrate import simps, trapz, romb, fixed_quad

begin = 0
end   = 1

def generate_f(k,low_freq,high_freq):
    ω = 2**uniform(np.log2(low_freq),np.log2(high_freq),k)
    φ = uniform(0,2*np.pi,k)
    g = lambda t,ω,φ: np.sin(ω*t-φ)/ω
    G = lambda t,ω,φ: np.cos(ω*t-φ)/ω**2
    f = lambda t: sum( g(t,ω[i],φ[i]) for i in range(k) )
    control = sum( G(begin,ω[i],φ[i])-G(end,ω[i],φ[i]) for i in range(k) )
    return control,f

def midpoint(f,n):
    midpoints = np.linspace(begin,end,2*n+1)[1::2]
    assert len(midpoints)==n
    return np.mean(f(midpoints))*(n-1)

def evaluate(n,control,f):
    """
    returns the relative errors when integrating f with n evaluations
    for several numerical integration methods.
    """
    times = np.linspace(begin,end,n)
    values = f(times)
    results = [
            midpoint(f,n),
            trapz(values),
            simps(values),
            romb (values),
            fixed_quad(f,begin,end,n=n)[0]*(n-1),
        ]

    return [
            abs((result/(n-1)-control)/control)
            for result in results
        ]

method_names = ["midpoint","trapezoid","Simpson","Romberg","Gauß–Legendre"]

def med(data):
    medians = np.median(np.vstack(data),axis=0)
    for median,name in zip(medians,method_names):
        print(f"{median:.3e}   {name}")

print("superimposed sines")
med(evaluate(33,*generate_f(10,1,1000)) for _ in range(100000))

print("superimposed low-frequency sines (control)")
med(evaluate(33,*generate_f(10,0.5,1.5)) for _ in range(100000))

（我在这里使用中位数来减少归因于仅具有高频内容的函数的异常值的影响。对于平均值，结果是相似的。）

相对积分误差的中位数为：

superimposed sines
6.301e-04   midpoint
8.984e-04   trapezoid
1.158e-03   Simpson
1.537e-03   Romberg
1.862e-03   Gauß–Legendre

superimposed low-frequency sines (control)
2.790e-05   midpoint
5.933e-05   trapezoid
5.107e-09   Simpson
3.573e-16   Romberg
3.659e-16   Gauß–Legendre

注意：两个月零一个赏金没有结果后，我将其发布在MathOverflow上。

首先，我认为您会误解自适应正交的概念。自适应正交并不意味着“交互式放置采样点”。自适应正交背后的全部思想是设计一种方案，该方案将某个功能与某个（估计的）绝对或相对误差相集成，而对功能的评估应尽可能少。

第二点：写“采样点的数量是固定的（由于功能评估成本很高），但是我可以随意放置它们”。我认为这种想法应该是采样点（或正交术语中的函数求值）的数量应尽可能小（即不固定）。

那么，例如在QUADPACK中实现的自适应正交背后的思想是什么？

1. 基本成分是“嵌套”正交规则：这是两个正交规则的组合，其中一个具有比另一个更高的顺序（或精度）。为什么？根据这些规则之间的差异，该算法可以估计正交误差（当然，该算法将使用最准确的一个作为参考结果）。示例可以是具有节点和节点的梯形规则。对于QUADPACK，规则是高斯-克朗罗德规则。这些是使用某个阶数的Gauss-Legendre正交规则的插值正交规则 2 Ñ + 1 Ñ Ñ 2 Ñ - $2^{n}$$2^{n+1}$$N$以及此规则的最佳扩展。这意味着可以通过以不同的权重重用高斯-勒格德勒节点（即代价高昂的函数评估）并添加大量额外的节点来获得更高的正交度。换句话说，原始的阶Gauss-Legendre规则将精确地积分所有多项式，而扩展的Gauss-Kronrod规则将精确地积分一些高阶多项式。一个经典的规则是G7K15（7阶高斯-勒根德雷与15阶高斯-克朗罗德）。神奇的是，高斯勒格德勒的7个节点是高斯克朗德15个节点的子集，因此通过15个函数求值，我得到了正交求值和误差估计！$N$$2N-1$

2. 下一个要素是“分而治之”的策略。假设您将这个G7K15放到被测物上，并且观察到根据您的品味太大的正交误差。然后，QUADPACK将原始间隔细分为两个等间隔的子间隔。然后，它将使用基本规则G7K15重新评估两个子积分。现在，该算法具有全局误差估计（希望应该低于第一个误差估计），但还有两个局部误差估计。它选择误差最大的间隔并将其一分为二。估计两个新的积分，并更新全局误差。依此类推，直到全局误差低于您要求的目标或超过最大细分数为止。

因此，我要求您使用该scipy.quad方法更新上面的代码。也许在具有很多“精细结构”的被积物的情况下，您可能需要增加细分的最大数量（该limit选项）。您也可以使用epsabs和/或epsrel参数。

但是，如果您只有实验数据，我会看到两种可能性。

1. 如果您有机会选择测量点（即值），我将等距离地选择它们，最好选择的幂，以便您可以应用嵌套的梯形法则（并从Romberg推断中受益）。$t$$2$
2. 如果您没有选择节点的方法，即测量是随机发生的，那么我认为最好的选择仍然是梯形法则。

我不相信您的代码会展示任何有关各种正交规则的基本知识，以及它们在噪声和精细结构方面的表现如何，并相信，如果您选择各种不同的精细结构，您会发现一些不同的东西。这是定理：

对于具有无穷大总变化量的函数，没有任何正交方法可以提供较低的绝对或相对误差。在单位四舍五入为的浮点系统中，我们得到的估算值为$\mu$ 其中是作用于数值实现正交总和的。

$$\left| \int_{a}^{b} f \, \mathrm{d}x - \hat{Q}[\hat{f}] \right| \le \left| \int_{a}^{b} f \, \mathrm{d}x - Q[f] \right| + \mu\left[ 4\int_{a}^{b} |f| \, \mathrm{d}x + \int_{a}^{b} |xf'| \, \mathrm{d}x \right]$$ $\hat{Q}$$\hat{f}$$f$

证明：令正交节点为，（非负）正交权重为并用和表示它们的浮点近似值。假定满足其中其中是单位四舍五入。然后 $\{x_i\}_{i=0}^{n-1}$$\{w_i\}_{i=0}^{n-1}$$\hat{w}_{i}$$\hat{x}_i$$\hat{f}$$\hat{f}(x) = f(x)(1+2\delta)$$|\delta| \le \mu$$\mu$

$$\begin{align*} \hat{Q}[\hat{f}] &= \sum_{i=0}^{n-1} \hat{w}_i \otimes \hat{f}(\hat{x}_i) \\ &= \sum_{i=0}^{n-1} w_i (1+\delta^w_i)f(x_i + \delta_i^x x_i)(1+2\delta_i^{f})(1+\delta_i^{*}) \\ &\approx \sum_{i=0}^{n-1} w_i \left[f(x_i)+ \delta_i^x x_i f'(x_i) \right] (1+\delta^w_i + 2\delta_i^{f} + \delta_i^*) \\ &\approx \sum_{i=0}^{n-1} w_i f(x_i) + \sum_{i=0}^{n-1}\delta_i^x w_i x_i f'(x_i) + w_i f(x_i) (\delta^w_i + 2\delta_i^{f} + \delta_i^*) \\ \end{align*}$$ 这样 假定计算总和时没有错误；乘以可删除该假设。 $$\begin{align*} |\hat{Q}[\hat{f}] - Q[f]| &\le \mu \sum_{i=0}^{n-1}w_i(|x_i f'(x_i)| + 4|f(x_i)|) \\ &\approx 4\mu \int |f| \, \mathrm{d}x + \mu \int |xf'| \, \mathrm{d}x \end{align*}$$ $n$

进行必要的修改后，您还可以显示结果在定点算法中有效。