为什么牛顿法不能收敛？

我正在使用PETSc的非线性求解器程序包SNES来求解通过离散偏微分方程获得的非线性方程组。如何确定求解器为何不收敛以及如何成功求解方程式？

牛顿法可能由于许多原因而无法收敛，这是一些最常见的方法。

• 雅可比行法是错误的（或顺序正确，但不是并行正确）。
• 线性系统没有求解或没有足够精确地求解。
• 雅可比系统具有线性求解器未处理的奇点。
• 函数评估例程中有一个错误。
• 该函数不连续或没有连续的一阶导数（例如，相变或TVD限制器）。
• 这些方程式可能没有解（例如，极限循环而不是稳态），或者初始猜测和稳态之间可能存在“爬坡”（例如，反应物必须先点燃并燃烧才能达到稳态，但稳态-状态残留在燃烧过程中会更大）。

以下是一些有助于调试牛顿收敛性不足的方法。

• 使用options运行-snes_monitor -ksp_monitor_true_residual -snes_converged_reason -ksp_converged_reason。如果线性求解不收敛，请检查雅可比行列式是否正确，然后查看此问题。如果预处理残差收敛，但真实残差不收敛，则预处理条件可能是奇异的。如果线性求解收敛良好，但直线搜索失败，则雅可比行列可能不正确。
• 运行-pc_type lu or -pc_type svd以查看问题是否是不良线性求解器
• 运行-mat_view或-mat_view_draw，查看雅可比行列式是否合理
• 运行-snes_type test -snes_test_display以查看您使用的Jacobian是否错误。添加时比较输出，-mat_fd_type ds以查看结果是否对差分参数的选择敏感。
• 运行-snes_mf_operator -pc_type lu以查看您使用的Jacobian是否错误。如果问题太大而无法直接解决，请尝试-snes_mf_operator -pc_type ksp -ksp_ksp_rtol 1e-12。添加时比较输出，-mat_mffd_type ds以查看结果是否对差分参数的选择敏感。
• 在一个处理器上运行，以查看问题是否仅是并行的。
• 运行-snes_ls_monitor以查看行搜索是否失败（这通常是不良Jacobian的迹象）。
• 运行-info以获取有关解决过程的更多详细信息。

如果上述所有内容都通过了检查，以下是一些有助于牛顿过程的方法

• 使用网格排序（-snes_grid_sequence如果需要使用，就可以完成所有工作DM），以便在更细的网格上生成更好的初始猜测
• 以四精度运行（./configure --with-precision=__float128 --download-f2cblaslapack使用PETSc 3.2和更高版本，需要版本4.6或更高版本的GNU编译器）
• 更改单位（无量纲化），边界条件缩放或公式化，以使Jacobian条件更好。
• 缩小功能中不具有连续一阶导数的特征（通常if在残差评估中存在某些陈述时发生，例如相变或TVD限制器）。如果不连续至关重要，请使用变分不等式求解器（SNESVINEWTONRSLS）。
• 尝试使用信任区域方法（-ts_type tr，可能必须调整参数）。
• 从了解解决方案的角度出发，使用一些连续参数运行，请参阅TSPSEUDO以解决稳态问题。有诸如PHCpack之类的同伦解算器软件包可以为您提供所有可能的解决方案（并告诉您已经找到了所有解决方案），但这些软件包不可扩展，只能解决小问题。