为什么我的迭代线性求解器不收敛？

使用KSP（PETSc）的预先设定的Krylov方法时会出什么问题的线性求解器程序包）中的求解稀疏线性系统（例如通过离散化和线性化偏微分方程获得的线性系统）时，会出现什么问题？

我可以采取什么步骤来确定问题出了什么问题？

为了成功有效地求解线性系统，我可以进行哪些更改？

初步建议

• 始终与 -ksp_converged_reason -ksp_monitor_true_residual尝试了解为什么某个方法无法收敛时，请。
• 使问题的大小和过程数尽可能小，以证明故障。您通常可以通过确定哪些小问题表现出导致您的方法崩溃的行为并减少周转时间来获得洞察力。此外，还有一些调查技术只能用于小型系统。
• 如果问题仅在经过大量时间步骤，连续步骤或非线性求解步骤之后出现，请考虑在发生故障时写出模型状态，以便您可以快速进行实验。
• 或者，特别是如果您的软件不具备检查点功能，请使用-ksp_view_binary或MatView()保存线性系统，然后使用以下代码$PETSC_DIR/src/ksp/ksp/examples/tutorials/ex10.c读取矩阵并求解（可能使用不同数量的进程）。这需要一个组装好的矩阵，因此其用途可能会受到限制。
• 有许多可能的求解器选择（例如，由于任意数量的合成级别，PETSc中的命令行都可以使用无限个数），有关选择线性求解器的一般建议，请参见此问题。

KSP无法收敛的常见原因

• 这些方程偶然地是奇异的（例如，忘记施加边界条件）。使用检查此问题-pc_type svd -pc_svd_monitor。也可以尝试使用直接求解器-pc_type lu（通过并行第三方软件包，例如-pc_type lu -pc_factor_mat_solver_package superlu_dist）。
• 这些方程有意地是奇异的（例如，恒定的零空间），但Krylov方法未获知，请参见KSPSetNullSpace()。
• 这些方程是有意的单数并KSPSetNullSpace()已使用，但右手侧不一致。MatNullSpaceRemove()在致电之前，您可能必须先致电右侧KSPSolve()。
• 这些方程式是不确定的，因此标准预处理器不起作用。通常您会从物理学上知道这一点，但是可以使用-ksp_compute_eigenvalues进行检查-ksp_gmres_restart 1000 -pc_type none。对于简单的鞍点问题，请尝试-pc_type fieldsplit -pc_fieldsplit_type schur -pc_fieldsplit_detect_saddle_point。有关更多详细信息，请参见用户手册和PCFIELDSPLIT手册页。对于更困难的问题，请阅读文献以找到可靠的方法，并在此处（或petsc-users@mcs.anl.gov或petsc-maint@mcs.anl.gov）询问是否需要有关如何实现它们的建议。例如，有关高频亥姆霍兹的信息，请参见此问题。对于中等大小的问题，请查看是否可以仅使用直接求解器。
• 如果该方法收敛于预处理残差而不是真实残差，则预处理器可能是奇异的或接近奇异的。这对于鞍点问题（例如不可压缩的流动）或强非对称算子（例如具有大时间步长的低马赫双曲问题）很常见。
• 预处理器太弱或不稳定。查看是否-pc_type asm -sub_pc_type lu提高收敛速度。如果GMRES在重新启动中失去太多进展，请查看是否有更长的重新启动帮助-ksp_gmres_restart 300。如果有转置可用，请尝试使用-ksp_type bcgs或重新启动不需要其他方法。（请注意，使用这些方法的收敛通常是不稳定的。）
• 预处理矩阵可能不接近（可能是未汇编的）运算符。尝试使用直接求解器进行求解，可以-pc_type lu使用第三方程序包（例如-pc_type lu -pc_factor_mat_solver_package superlu_dist或mumps）与之并行或并行进行。如果矩阵相同，则该方法应在一次迭代中收敛，否则应在“少量”迭代中收敛。-snes_type test如果解决非线性问题，请尝试检查矩阵。
• 前置条件是非线性的（例如嵌套的迭代求解），请尝试-ksp_type fgmres or -ksp_type gcr。
• 您正在使用几何多重网格，但是某些方程式（通常是边界条件）在各个级别之间不兼容缩放。尝试-pc_mg_galerkin代数构造一个正确缩放的粗略算子，或者如果要使用重新离散化的粗略水平，请确保所有方程式都以相同的方式缩放。
• 基质病态严重。使用此处介绍的方法检查条件编号。通过选择组件/边界条件的相对比例来尝试改进它。尝试-ksp_diagonal_scale -ksp_diagonal_scale_fix。也许改变问题的表述以产生更友好的代数方程。如果无法校正缩放比例，则可能需要使用直接求解器。
• 矩阵是非线性的（例如，使用非线性函数的有限差分进行评估）。尝试不同的差异参数（例如-mat_mffd_type ds）。尝试使用更高的精度以使差分更准确./configure --with-precision=__float128 --download-f2cblaslapack。检查它是否收敛于“更轻松”的参数范围。
• 对称方法用于非对称问题。
• 古典Gram-Schmidt变得不稳定，请尝试-ksp_gmres_modifiedgramschmidt或使用不同正交化的方法，例如-ksp_type gcr。

我对学生的建议是在这种情况下尝试直接求解器。原因是求解器可能不收敛的原因有两类：（i）矩阵错误，或者（ii）求解器/预处理器存在问题。直接求解器几乎总是可以产生与您期望的解决方案比较的结果，因此，如果直接求解器的答案看起来正确，那么您就知道问题出在迭代求解器/前提条件上。另一方面，如果答案看起来不正确，则问题在于组装矩阵和右侧。

我通常只使用UMFPACK作为直接求解器。我敢肯定，尝试与PETSC类似的事情很简单。