数值PDE中的高精度浮点算法

我从不同的资源和研究中得到的印象是，对数值偏微分方程的高精度计算的需求不断增长。在这里，高精度意味着比标准的64位双精度更高的精度。

我想知道这个话题的最新状态。通过比较的方式，数字PDE中存在一些共性，它们专门针对多核方法，大规模并行化或GPU计算。我想知道在数值PDE中是否存在类似社区或正在使用高精度方法发展这种方法，我会特别感兴趣（这是问题的实质）在介绍性或调查性高精度论文中，这也给人留下了深刻的印象。主题的实际相关性。

连续PDE的离散化通常会比有限精度带来更多的误差。我发现大约90％的要求更高精确度的人只是懒于解决问题，并尝试使用不良的缩放比例，不良的离散化或不良的连续性建模来解决问题。剩下的10％可能拥有病情合理的系统，对于这些系统而言，提高精度确实是有意义的。即使在那种情况下，我们也大多使用四精度作为调试工具（特别是与使用有限差分Frechet导数的方法结合使用，并调查“虚假”数字零空间的原因）或局部地针对非常敏感的操作而不是在大规模生产。

GCC __float128自4.6版开始提供，因此非常容易尝试。（较早的实现通常更具侵入性和便携性。）--with-precision=__float128自3.2版以来，PETSc就已受支持，因此只需重新编译即可。

在我们以deal.II项目（http://www.dealii.org/）的形式提供FEM软件的15年中，我认为我们从未真正提出过解决PDE问题的要求。比双精度更高的精度。原因是正如Jed在另一个答案中所建议的那样：错误使离散化PDE离散化的误差远大于从双精度浮点算术获得的精度的16位数字。因此，您必须拥有非常精细的网格，以达到需要更高的算术精度来影响整体误差的程度。

我认为事实恰恰相反：例如，当您使用单精度存储矩阵或前置条件元素时，人们会思考（并研究）会发生什么。通常，这不会显着降低它们的准确性，但是可以将性能提高大约两倍，因为从内存到处理器的数据量只需一半。

因此，我的感觉是四精度（或更高）可能与ODE求解器社区有关，而与PDE社区无关。