使用Chebyshev多项式的谱方法的难度

我在尝试理解一篇论文时遇到了一些困难。本文使用频谱方法来求解来自耦合ODE系统的特征值。我现在只写一个方程式，因为它足以解决我的问题的症结所在。

等式是

$V[r] = \frac{e^{-(\nu[r] +\lambda[r])}}{\epsilon[r] + p[r]} *\biggr[ (\epsilon[r] + p[r])( e^{\nu[r] +\lambda[r]})r W[r] \biggr]'$

我进行导数并得到

（等式1） $V = \biggr[ \frac{\epsilon' +p'}{\epsilon + p} + r(\nu'+\lambda') +1 \biggr] W + r W'$

现在根据该论文，我应该能够将系统的平衡量）扩展为以下形式的Chebyshev多项式$(\epsilon ,p ,\nu ,\lambda$

，其中Ti[y]是多项式。我知道如何让b我使用的代码，我在数学写道。也ÿ=2（[R/[R ）-1，和的域- [R是（0，- [R ）。$B[r] = \Sigma_{i=0}^{\infty}b_i T_i[y] - \frac{1}{2} b_0$$T_i[y]$$b_i$$y = 2(r/R) -1$$r$$(0,R)$

本文还指出函数（）可以扩展为 F [ r ] = （$V,W$，一般来说，像B[r]F[r]这样的术语可以表示为$F[r] = (\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty}f_i T_i[y] - \frac{1}{2} f_0$$B[r]F[r]$

$B[r]F[r] = \frac{1}{2} (\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty} \pi_i T_i[y] - \frac{1}{2} \pi _0$

其中 和Θ （ķ ）= 0为ķ < 0和等于1为ķ ≥ 0。$\pi_i = \Sigma_{j=0}^{\infty}[b_{i+j} + \Theta(j-1)b_{|i-1|} ] f_l$$\Theta(k) = 0$$k<0$$k\geq 0$

说了这么多，可以说我做了以下均衡函数

并且r（ν'+λ′）=B2[r]，则Eq1变为$\frac{\epsilon' +p'}{\epsilon + p} = B_1[r]$$r(\nu'+\lambda') = B_2[r]$

（Eq2） 。$\bigg((\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty}v_i T_i[y] - \frac{1}{2} v_0 \bigg) = \biggr[ B_1[r] + B_2[r] +1 \biggr] \biggr( (\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty}w_i T_i[y] - \frac{1}{2} w_0 \biggr) + r W'$

问题1：如何处理条款？多项式是[y]的函数，所以我怎么能像B[r]=（$(\frac{r}{R})^l$$[y]$[y]的X函数？似乎我也可以将它们在等式的两边分开，所以引入该术语的目的是什么？我的意思是，根据论文，该术语应施加边界条件，即V，W随r变为零而变为零。$B[r]= (\frac{r}{R})^l$$V,W$$r$

* 问题2： *我怎么对付在[R * w ^ '一词。本文描述了如何处理导数项，但r本身呢。我是否应该将其视为平衡值，并将规则用于B [ r ] F [ r ]之类，还是应该以y表示此r？还是我应该完全做其他事情？$r$$r*W'$$r$$B[r]F[r]$$r$$y$

我不确定在不详细阅读本文的情况下是否可以回答问题。但是关于第一个问题，你有$r/R = (y+1)/2$。由于不能将所有项相乘，因此无法将其分解。

对于问题2：由于将使用此方程式将边界条件应用于 $r=0$，我认为您提到的术语应该消失了。