“波动方程”的有限差分方案，特征方法

考虑以下问题

W_{u v} = F

$W_{uv} = F$ ，其中强迫项可以取决于（有关公式，请参见下面的Edit 1）以及及其一阶导数。这是一个1 + 1维波动方程。我们在指定了初始数据。

u, v

$u,v$

W

$W$

{u + v = 0}

$\{u+v = 0\}$

我对区间的依赖范围内的解决方案感兴趣，并正在考虑以下有限差分方案。

{u + v = 0, u \in [- u_{M}, u_{M}]}

$\{ u+v = 0, u \in [- u_M,u_M]\}$

我们的目标是发展由和类似。该方案在因此我可以通过向上积分从初始数据中一致地计算；因此，我只需要真正查看和的演化方程。 $W_u$ $W_u(u,v+1) - W_u(u,v) = F(u,v)$ $W_v(u+1,v) - W_v(u,v) = F(u,v)$ $W (u, v) + W_{u} (u, v) + W_{v} (u + 1, v) = W (u + 1, v + 1) = W (u, v) + W_{v} (u, v) + W_{u} (u, v + 1)$ $W(u,v) + W_u(u,v) + W_v(u+1,v) = W(u+1,v+1) = W(u,v) + W_v(u,v) + W_u(u,v+1)$ $W$ $W_v$ $W_u$
对于初始数据，我们需要兼容条件。这表明我可以通过在初始时间使用的前向（in）有限差分来计算初始数据，并在半整数点处给定的值。 $W_u(u,v) - W_v(u+1,v-1) = W(u+1,v-1) - W(u,v)$ $u$ $W$ $W_t$ $(u+0.5,v-0.5)$

问题：

这是一个众所周知的方案吗？特别是在哪里可以找到对该方案的分析？
有什么明显的我应该注意的吗？

背景：假装我几乎一无所知（这可能是对的，因为我是一位纯粹的数学家，试图学习一些计算机制。）

编辑1：只是为了澄清（以解决一些意见）：坐标中的等式为而和是“零坐标”，由给出（直到2）和。因此，位于的初始数据实际上位于。 $x$ $t$

W_{t t} - W_{x x} = F

$W_{tt} - W_{xx} = F$

u

$u$

v

$v$

u = t + x

$u = t+x$

v = t - x

$v = t-x$

{u + v = 0}

$\{u+v = 0\}$

{t = 0}

$\{t = 0\}$

因此，而不是网状适于我考虑的网孔适于被旋转了45度。相较于，其中取整数值，一个能想到的网具有附加分，其中两个（但不只是之一）和取半整数值。 $(t,x)$ $(u,v)$ $(t,x)$ $t,x$ $u,v$ $t$ $x$

finite-difference reference-request hyperbolic-pde

— 黄伟利
source

您的下标使我有些困惑，但是在我看来，这是某种时域有限差分法。。。也许采用交错的网格公式（半指数？）。

— meawoppl 2012年

@meawoppl：他只是将变量称为

而不是通常的

。（在通常的

制剂，它们也由旋转

在针对空间-时间平面

，但是这是一个单独的问题。）

u, v

$u,v$

x, t

$x,t$

u, v

$u,v$

45^{\circ}

$45^\circ$

x, t

$x,t$

— 沃尔夫冈Bangerth

我进行了编辑以澄清（Wolfgang Bangerth的解释是我的初衷）。

— Willie Wong

Answers:

肯定有关于这种方案的文献。两个关键字是

修改后的特性方法
半拉格朗日方案

谷歌搜索20分钟后：一些可能重要的论文是http://dx.doi.org/10.1137/0719063和http://dx.doi.org/10.1137/0728024（从此处搜索）。这些可能不是那里最好的参考，但是它们应该是使您进入正确的文献的起点。

我认为这是具有尺寸分割的线的旋转方法。假设您非常了解方程组的等价性和在转换下波动方程的通常形式对我来说，以波动方程的这种传统形式来考虑您的方案很有用。该方案所要做的是首先沿一组特征进行集成，然后沿另一组特征进行集成。集成是使用维分解和Euler方法完成的，二者都是一阶精确的。

W_{t t} - W_{x x} = F

$W_{tt}-W_{xx} = F$

u = t + x, v = t - x .

$u = t+x, \ \ \ \ v = t-x.$

当然，由于您是沿着特征进行集成，因此在的情况下，方案将是精确的。也就是说，方案中的数值误差将仅由数值积分引起（这可能是显而易见的，但对于指出那些习惯于更传统的数值方法的人可能很有用）。此外，对于的情况，您的方案是无条件稳定的。如果不了解某些特性，就无法说出它的稳定性。通常，该方案仅在某些有限步长限制下才稳定（因为欧拉方法是明确的）。如果的雅可比行列式 $F=0$ $F$ $F=0$ $F$ $F$ 具有任何纯虚数特征值，该方案将不稳定。

将PDE还原为ODE系统的一般离散化方法（如您的方法一样）被称为直线方法。与任何线离散化方法一样，可以通过使用高阶ODE求解器来提高精度的阶数，并且可以通过使用适当的隐式ODE求解器来提高稳定性（随之而来的是每步计算成本的增加）。

— 大卫·凯奇森
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“但是Google会为您提供更多帮助”实际上，这是最大的问题之一。我不确定要对Google做什么（我怀疑数字文献可能使用与纯文献不同的术语）。如果您能提出一些我应该搜索的关键字，我将不胜感激。（例如，“行方法”为我提供了很多切实的信息[也许我可以通过:-)进行过滤甚至很多）。）

— Willie Wong

@WillieWong-LeVeque的双曲问题有限体积方法是我们经常引用的双曲方程的参考。我不确定这是否是您入门的正确参考，但是至少它将为您提供该领域的术语和技术的介绍。

— 阿隆·艾玛迪亚

好的，我添加了一些关键字和参考。希望他们能帮上忙。

— David Ketcheson 2012年

非常感谢您的参考！那给了我一个很好的开始。

— Willie Wong

从大卫·凯奇森（David Ketcheson）在回答中留下我的地方开始，再进行一些搜索便发现了一些历史记录。

我在上面概述的方案早在1900年就已经被J. Massau 认为是在国际无烟石墨组织中。该作品由蒙斯的G. Delporte在1952年重新出版。

Courant，Friedrichs和Lewy's在其1928年的经典论文《数学》中首次对其融合进行了现代分析（尽管很简短）。安

— 黄伟利
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哇，我不敢相信我没有意识到这是在CFL论文中……

— David Ketcheson 2012年