为什么ODE的数值解会偏离不稳定的平衡？

我希望模拟双摆式系统的行为。该系统是一个2自由度的机器人操纵器，该操纵器没有被致动，因此其行为主要类似于受重力影响的双摆。双摆的唯一主要区别在于，它由两个刚体组成，两个刚体在其质心处具有质量和惯性特性。

基本上，我ode45在Matlab下进行编程，以解决以下类型的ODE系统：

$$\left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & M_{11} & 0 & M_{12}\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & M_{12} & 0 & M_{22} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{x}_1\\ \dot{x}_2\\ \dot{x}_3\\ \dot{x}_4 \end{array} \right]= \left[ \begin{array}{c} x_2\\ -V_1-G_1\\ x_4\\ -V_2-G_2 \end{array} \right]$$

其中$x_1$是第一物体相对于水平面的角度，$x_2$是第一物体相对于水平面的角速度；$x_3$是第二物体相对于第一物体的角度，$x_4$是第二物体的角速度。在我创建的rhs和fMass函数的以下代码中指定了所有系数。

clear all
opts= odeset('Mass',@fMass,'MStateDependence','strong','MassSingular','no','OutputFcn',@odeplot);
sol = ode45(@(t,x) rhs(t,x),[0 5],[pi/2 0 0 0],opts);

function F=rhs(t,x)
    m=[1 1];
    l=0.5;
    a=[0.25 0.25];
    g=9.81;
    c1=cos(x(1));
    s2=sin(x(3));
    c12=cos(x(1)+x(3));
    n1=m(2)*a(2)*l;
    V1=-n1*s2*x(4)^2-2*n1*s2*x(2)*x(4);
    V2=n1*s2*x(2)^2;
    G1=m(1)*a(1)*g*c1+m(2)*g*(l*c1+a(2)*c12);
    G2=m(2)*g*a(2)*c12;

    F(1)=x(2);
    F(2)=-V1-G1;
    F(3)=x(4);
    F(4)=-V2-G2;
    F=F';     
end

function M=fMass(t,x)
    m=[1 1];
    l=0.5;
    Izz=[0.11 0.11];
    a=[0.25 0.25];
    c2=cos(x(3));
    n1=m(2)*a(2)*l;
    M11=m(1)*a(1)^2+Izz(1)+m(2)*(a(2)^2+l^2)+2*n1*c2+Izz(2);
    M12=m(2)*a(2)^2+n1*c2+Izz(2);
    M22=m(2)*a(2)^2+Izz(2);
    M=[1 0 0 0;0 M11 0 M12;0 0 1 0;0 M12 0 M22];
end

请注意，我如何设置$x_1$的初始条件（第一个物体相对于水平面的角度），以便系统从完全垂直的位置开始。这样，由于仅重力作用，因此明显的结果是系统根本不应该从该位置移动。

注意：在下面的所有图形中，我绘制了关于时间的解$x_1$和$x_3$。

ODE45

当我使用进行了6秒钟的仿真时ode45，我得到了没有任何问题的预期解决方案，系统保持原样并且不动：

但是，当我运行模拟10秒钟时，系统开始不合理地移动：

ODE23

然后，我运行模拟ode23以查看问题是否仍然存在。我最终得到相同的行为，只是这次差异在1秒后开始：

ODE15

然后，我运行模拟ode15s以查看问题是否仍然存在，并且不，即使在100秒内，系统也似乎是稳定的：

再说一次，ode15s只是一阶，请注意，只有几个集成步骤。因此，我ode15s在10秒内运行了另一个仿真，但MaxStep大小为$0.01$以提高精度，但是不幸的是，这导致了与ode45和相同的结果ode23。

通常，这些模拟的明显结果将是系统保持在其初始位置，因为没有任何干扰。为什么会出现这种分歧？这些类型的系统本质上是混乱的，这是否与事实有关？这是odeMatlab中函数的正常行为吗？

我认为Brian和Ertxiem已经提出了两个主要观点：您的初始值是一个不稳定的平衡，而您的数值计算从未真正准确的事实提供了很小的扰动，这些扰动会引起不稳定。

为了更详细地说明这种情况如何发生，请以一般初始值问题的形式考虑您的问题

$$\begin{equation} \dot{\mathbf{y}}(t) = \mathbf{M}^{-1} \mathbf{f}(t, \mathbf{y}(t)) \end{equation}$$ ，其中$\mathbf{y}(t) = (x_1(t), x_2(t), x_3(t), x_4(t))$和

$$\begin{equation} \mathbf{f}(t, \mathbf{y}(t)) = \begin{bmatrix} x_2 \\ -V_1 - G_1 \\ x_4 \\ -V_2 - G_2 \end{bmatrix} \end{equation}$$

在精确的算法，你就必须$\mathbf{f}(0, \mathbf{y}_0) = 0$，因此$\dot{\mathbf{y}}(0) = 0$，并没有什么时候改变：您的系统保持平衡。但是，计算机中的算术运算并不精确，这意味着由于种种原因，您的右手边并非精确为零，而是等于$\tilde{\mathbf{f}}$这几乎是但不完全为零。

在您的代码中，您可以通过计算来测试

norm(rhs(0,[pi/2 0 0 0]))

得出6.191e-16-几乎但不完全是零。这对系统的动态有何影响？

$\mathbf{f}$$\mathbf{y}_0$$\tilde{\mathbf{y}}_0$

此外，在很短的时间内，您系统的解决方案看起来就像线性系统的解决方案

$$\begin{equation} \dot{\mathbf{y}}(t) = \mathbf{f}(0, \mathbf{y}_0) + \mathbf{f}'(0, \mathbf{y}_0) \left( \mathbf{y}(t) - \mathbf{y}_0 \right) = \mathbf{f}'(0, \mathbf{y}_0) \left( \mathbf{y}(t) - \mathbf{y}_0 \right) \end{equation}$$

$\mathbf{f}'$$\mathbf{f}$rhs$\mathbf{y}_0$$\mathbf{d}(t) := \mathbf{y}(t) - \mathbf{y}_0$$\mathbf{d}$

$$\begin{equation} \dot{\mathbf{d}}(t) = \mathbf{f}'(0, \mathbf{y}_0) \mathbf{d}(t). \end{equation}$$

我不必费心去手工计算雅可比行列式，因此我使用自动微分来获得良好的近似值：

$$\begin{equation} \mathbf{J} := \mathbf{f}'(0, \mathbf{y}_0) = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 9.81 & 0 & 2.4525 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 2.4525 & 0 & 2.4525 & 0 \end{bmatrix} \end{equation}$$

这样你的方程就变成

$$\begin{equation} \dot{\mathbf{d}}(t) = \mathbf{J} \mathbf{d}(t), \mathbf{d}(0) = \mathbf{\tilde{y}}_0 - \mathbf{y}_0 \end{equation}$$

现在我们需要最后一步：我们可以计算雅可比行列式的特征值分解，使得

$$\begin{equation} \mathbf{J} = \mathbf{Q} \mathbf{D} \mathbf{Q}^{-1} \end{equation}$$

$\mathbf{D}$$\mathbf{J}$$\mathbf{Q}$$\mathbf{d}$$\mathbf{e}(t) := \mathbf{Q}^{-1} \mathbf{d}(t)$

$$\begin{equation} \dot{\mathbf{e}}(t) = \mathbf{D} \mathbf{e}(t), \mathbf{e}(0) = \mathbf{Q}^{-1} \mathbf{d}_0. \end{equation}$$

$\mathbf{D}$

$$\begin{equation} \dot{e}_i(t) = \lambda_i e_i(t), e_i(0) = i-\textrm{th component of}~\mathbf{Q}^{-1} \mathbf{d}_0 \end{equation}$$

$i=1,2,3,4$$\lambda_1 = 3.2485$

$$\begin{equation} e_1(t) = e_1(0) e^{3.2485 t}. \end{equation}$$

$\mathbf{d}(0) = 0$$\mathbf{e}(0) = \mathbf{Q}^{-1} \mathbf{d}(0) = 0$$e_1(0) = 0$$e_1(0)$

$\pi/2$$\pi/2$

查看在函数中计算出的力的分量。

您可能会发现它们永远不会完全为零，因为正如其他答案所述，您无法表示$\pi$ 完全是计算机算法，计算触发函数的例程也不是完全正确。

最终，微小的力量（可能是秩序的 $10^{-16}$ 在开始时）将使系统远离不稳定的平衡位置。

尽管系统的位移仍然很小，但是所有计算都会由于舍入误差而损失很多精度（您正在执行的计算与 $a = 1.0$; $a = a + 10^{-16}$），因此系统在模拟中“翻倒”之前的时间将完全取决于您使用的集成方法，所需的时间步长等。

最初的假设是初始位置处于动能为零的稳定平衡状态（即势能的最小值），系统开始远离平衡状态。
由于从物理上讲不可能发生（如果我们考虑经典力学的话），我想到了两件事：

1. 第一个可能是初始位置是：两个钟摆都指向上方（$\pi/2$ 代替 $-\pi/2$？），这是不稳定的平衡点；

2. 第二个问题是运动方程式可能有问题（也许在某处有错字？）。您能否明确写出方程式？也许您可以将角加速度作为每个摆的初始位置的函数进行绘制，假设角速度为零，以检查是否存在异常。

您应该搜索有关双摆的更多信息：它们被称为“混沌系统”。尽管它们的行为遵循简单的规则（从略有不同的初始条件开始），但解决方案的分歧却相当快。对这类系统进行数值模拟并不容易。看下面的视频以更深入地了解问题。

对于简单或双摆，您可以编写系统总能量的公式。假设摩擦力被忽略，该总能量将由分析系统保留。从数字上讲，这是另一个问题。

在尝试双摆之前，请尝试简单摆。您会注意到，对于小阶的Runge-Kutta方法，系统的能量将在数值模拟中增长，而不是保持不变（这就是模拟中发生的事情：您一无所有）。为了防止这种情况，可以使用更高阶的RK方法（ode45为4阶； 8阶的RK效果更好）。还有其他称为“渐近方法”的方法，其设计使得数值模拟可以节省能量。通常，与初始化相比，一旦能量显着增加，就应立即停止仿真。

并在尝试双重练习之前尝试了解简单的钟摆。