低秩修改如何影响Krylov方法的收敛性？

假设我有一个线性系统，对于所有使用合适的Krylov方法（例如CG或GMRES）可以快速收敛。如果是具有低秩的矩阵，系统上的相同Krylov方法也会快速收敛吗？（理想情况下，迭代的额外数目大约仅取决于）？$A x = b$$b$$B$$r$$(A + B) x = b$$r$

这样的系统的一个例子是良好的预调节膜弹性和弯曲度加上未预调节的具有密集外部产品结构的气压项。

注意，问题是有或没有预处理的相同，由于是秩的修改。$P(A + B)Q = PAQ + PBQ$$r$$PAQ$

如果您的Krylov子空间基于幂，则收敛最多会在更正等级处延迟许多迭代。如果它是基于A T A的幂，则此数字最多为两倍。$A$$A^TA$

我在文献中还没有看到这样的说法。但是要查看第一种情况的有效性，足以证明矩阵A + U S V T的第个Krylov空间（其中U ，V具有r列）包含在相应的空间中，而无需进行低秩校正，但具有相应地，较高的索引k + r。这很容易验证。$k$$A+USV^T$$U,V$$r$$k+r$