使用直接方法时出现不适的症状是什么？

假设我们有一个线性系统，并且对它的条件一无所知，也没有关于解的初步信息。我们盲目地应用高斯消去法并得到一些解 $x$ 。如果不对矩阵进行全面的初步分析，是否可以确定该解决方案是否值得信赖（即系统状况良好）？枢纽的数量是否能提供可靠的信息？

通常，“动态”检测疾病的主要准则是什么？

linear-solver condition-number conditioning

— 法里奇克
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Answers:

什么时候患病？这取决于您要寻找的解决方案的准确性，甚至取决于“情人眼中的情人”。

也许是因为基于分解的廉价且健壮的条件数估计量，您的问题应该改写一下？ $LU$

假设你有兴趣在现实一般（密集，非对称）的双精度运算的问题，我建议你使用LAPACK专家求解DGESVX提供在其倒数的形式条件估计。作为奖励，您还可以使用其他好处，例如方程式平衡/平衡，迭代细化，正向和反向误差范围。顺便说一句，病理性疾病状况（）被信号表示为错误。 $\text{RCOND}\approx 1/\kappa(A)$ $\kappa(A) > 1/\epsilon$ INFO>0

进入更详细地，LAPACK估计在1范数的条件数（或范数，如果你正在解决经由）DGECON。在草坪36：“用于条件估计中的鲁棒三角求解”中描述了基础算法。 $\infty$ $A^T x = b$

我不得不承认我不是该领域的专家，但是我的理念是：“如果对LAPACK足够好，那么对我来说就是”。

— 斯特凡诺（Stefano M）
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具有范数1的矩阵和范数1的随机右手边的病态方程组的解很有可能具有条件数阶的范数。因此，计算一些这样的解决方案将告诉您发生了什么。

— 阿诺德·纽迈耶
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这确实是DGECON正在做的事情，它具有反复优化搜索方向以最大化结果的技巧，并使用自定义的三角求解器（而不是BLAS求解器）来避免事物被近似误差所扭曲。因此，DGECON的计算成本可与您的简单测试相媲美。+1是为了让我们记住矩阵范数和条件数的简单含义。弄清楚DGECON是否真的比简单的随机检查更可靠。

— Stefano M

考虑到求解

的条件数与计算

的条件数一致，是否足以将缩放矩阵与那些随机向量相乘，而不是实际求解

？

A x = b

$Ax=b$

A x

$Ax$

A x = b

$Ax=b$

— faleichik 2012年

@faleichik可以肯定的是：这里的诀窍是缩放

以使

且

。当然，作为该线性代数，您不必实际缩放

而仅缩放

…不过，您需要首先计算

。您的反向论证将需要首先计算

A

$A$

‖ A ‖ = 1

$\| A \| = 1$

κ (A) = ‖ A ‖ \cdot ‖ A^{- 1} ‖ = ‖ A^{- 1} ‖

$\kappa(A) = \| A \| \cdot \| A^{-1} \| = \| A^{-1} \|$

A

$A$

A x

$Ax$

‖ A ‖

$\| A \|$

‖ A^{- 1} ‖

$\| A^{-1} \|$ 我们正在努力评估的内容。

— Stefano M

仅凭一个结果就很难判断您的系统是否状况不佳。除非您对系统的行为有一定的了解（即知道解决方案应该是什么），否则从单个解决方案中您将无法说太多话。

话虽如此，如果您用同求解多个系统，则可以获得更多信息。假设您有一个形式为。对于您不了解其条件的特定A，可以执行以下测试： $A$ $Ax=b$

Solve $Ax=b$ for a specific right hand side vector $b$ .
Perturb your right hand side vector by $b_{new}=b+\mathbf{\varepsilon}$ where $||\mathbf{\epsilon}||$ is very small in comparison to $||b||$ .
Solve $Ax_{new}=b_{new}$ .
$||x-x_{new}||$ $||x-x_{new}||$ is large), then your system is probably ill-conditioned.

$\Theta(n^3)$ $\Theta(n^2)$ operations for each successive solution, assuming your direct solver saves its factors). If your matrix A is fairly small, this is not a problem. If it is large, you may not want to do this. Instead, you may be better off calculating the condition number $||A||\cdot||A^{-1}||$ in a convenient norm.

— Paul
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Your

Θ (k n^{3})

$\Theta(kn^3)$ claim is extremely far from the truth. Even if

A

$A$ is dense,

A

$A$ can be factored once with

O (n^{3})

$O(n^3)$ work and then each solve requires only

O (n^{2})

$O(n^2)$ work.

— Jack Poulson

@JackPoulson: You're absolutely right... I guess I completely spaced out about it. No worries:) I'll update my answer

— Paul

Could one also evaluate the residual of the resulting solve? Since

| | A x - b | |

$||Ax - b ||$ scales as

| | A | | \cdot | | x | |

$||A||\cdot||x||$ a nearly singular

A

$A$ might give a meaningful residual even if its solution is very bad.

— Reid.Atcheson

@Reid.Atcheson: Not really. The approximate solution to an ill conditioned system can still produce a small residual. This does not really doesn't give you any indication as to how far away it is from the true solution.

— Paul

May be it is more wise to explicitly state

‖ ε ‖

$\|\varepsilon\|$ very small with respect to

‖ b ‖

$\|b\|$ . Everything is relative in this area... Most readers will know, but someone could be mislead in dangerous waters.

— Stefano M