使用相同的，不同的重复求解

我正在使用MATLAB解决一个涉及解决，其中每个时间步随着时间变化。现在，我正在使用MATLAB的：$\mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{b}$$\mathbf{b}$mldivide

x = A\b

我可以灵活地进行所需的预计算，因此我想知道是否有比更快和/或更准确的方法mldivide。通常在这里做什么？谢谢大家！

您可以做的最明显的事情是预先计算

[L,U] = lu(A) 〜O（n ^ 3）

那你就算

x = U \ (L \ b) 〜O（2 n ^ 2）

这将极大地降低成本并使其更快。准确性将是相同的。

我们在有关该主题的科学计算课程中做了一些广泛的计算机实验室。对于我们在那里进行的“小”计算，即使我们尽可能优化了代码并事先对所有矩阵进行了排序（例如，使用反向Cuthill McKee对稀疏矩阵进行排序），Matlab的反斜杠运算符始终比其他任何运算符都快。 。

您可以查看我们的实验室说明之一。第4页（简短）介绍了您问题的答案。

切尼（Cheney）例如写了一本关于这个主题的好书。

假设是一个n × n的密集矩阵，您必须求解A x i = b i，i = 1 … m。如果米是够大那么就没有什么错$A$$n\times n$ $Ax_i = b_i$$i=1\dots m$$m$

V = inv(A);
...
x = V*b;

触发器是对和ø （Ñ 2）为，因此，为了确定用于盈亏平衡值米需要一些试验...$O(n^3)$inv(A)$O(n^2)$V*b$m$

>> n = 5000;
>> A = randn(n,n);
>> x = randn(n,1);
>> b = A*x;
>> rcond(A)
ans =
   1.3837e-06
>> tic, xm = A\b; toc
Elapsed time is 1.907102 seconds.
>> tic, [L,U] = lu(A); toc
Elapsed time is 1.818247 seconds.
>> tic, xl = U\(L\b); toc
Elapsed time is 0.399051 seconds.
>> tic, [L,U,p] = lu(A,'vector'); toc
Elapsed time is 1.581756 seconds.
>> tic, xp = U\(L\b(p)); toc
Elapsed time is 0.060203 seconds.
>> tic, V=inv(A); toc
Elapsed time is 7.614582 seconds.
>> tic, xv = V*b; toc     
Elapsed time is 0.011499 seconds.
>> [norm(xm-x), norm(xp-x), norm(xl-x), norm(xv-x)] ./ norm(x)
ans =
   1.0e-11 *
    0.1912    0.1912    0.1912    0.6183

$A^{-1}$$LU$$m>125$

一些注意事项

有关稳定性和错误分析的信息，请参见对此不同答案的评论，尤其是VictorLiu的评论。

$m\ll n$

使用Matlab R2011b在12核计算机上执行定时，UNIX平均值平均为5；tic, toc三个探针的最佳时间。

看一下这个问题，答案显示mldivide非常聪明，并且还提供了有关如何查看Matlab用于解决的建议A\b。这可能会给您有关优化选项的提示。

使用反斜杠或多或少等同于inv(A)*B，如果您自由编码，则反斜杠可能更直观。它们大致相同（在计算方式上略有不同），尽管您应查看Matlab文档以进行澄清。

要回答您的问题，反斜杠通常可以，但是它确实取决于质量矩阵的属性。