用Neumann边界条件写泊松方程有限差分矩阵

我对使用有限差分法求解泊松方程感兴趣。我想更好地了解如何用Neumann边界条件编写矩阵方程。有人会审查以下内容，对吗？

有限差分矩阵

泊松方程，

$$\frac{\partial^2u(x)}{\partial x^2} = d(x)$$

可以用有限差分矩阵方程近似

$$\frac{1}{(\Delta x)^2} \textbf{M}\bullet \hat u = \hat d$$

其中是矩阵，和是（列）向量， Ñ × Ñ ù ð 1 × $\textbf{M}$$n \times n$$\hat u$$\hat d$$1 \times n$

添加Neumann边界条件

诺伊曼边界条件会在边界处强制产生一个已知通量（此处我们将其应用到边界位于的左侧），$x=0$

$$\frac{\partial u(x=0)}{\partial x} = \sigma$$ 将此边界条件写为中心有限差分，

注意 我最初在这里犯了一个错误，符号错误并且没有被2除。以下内容已得到纠正。

$$\frac{u_2 - u_0}{2\Delta x} = \sigma$$

请注意在原始域（）之外引入了一个网格点。可以通过引入第二个方程来消除该术语 $u_0$

$$\frac{u_0 - 2u_1 + u_2}{(\Delta x)^2} = d_1$$

由于引入了新的网格点，因此该方程式具有更多信息。它允许我们使用居中的有限差分将的双导数写为的边界。$u_1$$u_0$

我不确定的部分

可以将这两个方程合并。为了显示工作原理，让我们首先重新安排未知对象，$u_0$

$$u_0 = -2\sigma\Delta x + u_2 \\ u_0 = (\Delta x)^2 d_1 + 2 u_1 - u_2$$

接下来，将它们设置为相等并重新排列为表格，

$$\frac{u_2 - u_1}{(\Delta x)^2} = \frac{d_1}{2} + \frac{\sigma}{\Delta x}$$

我选择这种形式是因为它与上面的矩阵方程式相同。请注意，此处和原始方程式中的项均被。这是正确的方法吗？$u$$(\Delta x)^2$

最后，将此方程式用作矩阵的第一行，

最后的想法，

1. 这个最终矩阵正确吗？
2. 我可以使用更好的方法吗？
3. 有写这种矩阵的标准方法吗？

我认为您的做法正确。如果您更正了错误，它将看起来与http://www.math.toronto.edu/mpugh/Teaching/Mat1062/notes2.pdf非常相似。

$u_0$

退后一步，思考问题。指定拉普拉斯方程式从根本上说，每个点都是其邻域的平均值。通常将其可视化为橡胶板，可以帮助我考虑这些问题。（泊松具有或多或少的拉伸点类似）

当您在最外边缘指定溶液表面的值时，您就是在这些点的空间中将板“向下”固定。当您通过边缘的导数指定图纸时，有许多解决方案都可以满足方程式的要求，即在空间上平移图纸，同时保持相同的实际形状，从而保持导数不变。

$u_0 = 0$