与域分解预处理器相比，多网格有什么优势，反之亦然？

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这主要是针对凸域上的椭圆PDE，因此我可以很好地了解这两种方法。

— 李俊镐
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多网格和多级域分解方法有很多共同点，因此通常可以将每种方法写为另一种的特殊情况。由于每个领域的哲学不同，分析框架有所不同。一般而言，多网格方法使用适度的粗化率和简单的平滑器，而域分解方法使用极快速的粗化和强平滑器。

多重网格（MG）

Multigrid使用适度的粗化率，并通过修改插值和平滑器来实现鲁棒性。对于椭圆问题，插值算子应为“低能量”，以便保留算子的近零空间（例如刚体模式）。这些低能插值的几何方法示例是Wan，Chan，Smith（2000），与平滑聚合的代数构造Vaněk，Mandel，Brezina（1996）相比（通过PCGAMG 在ML和PETSc中并行实现，是Prometheus的替代品）。Trottenberg，Oosterlee和Schüller的书是有关Multigrid方法的很好的一般参考。

大多数多网格平滑器都涉及逐点松弛，可以是相加（Jacobi）或相乘（Gauss Seidel）。这些对应于微小的（单节点或单个元素）狄利克雷问题。使用Chebyshev平滑器可以实现某些光谱适应性，鲁棒性和可矢量化性，请参见Adams，Brezina，Hu，Tuminaro（2003）。对于非对称（例如运输）问题，通常需要像Gauss-Seidel这样的乘法平滑器，并且可以使用迎风向上的插值法。可替代地，可以通过经由Schur补语启发的“块预处理器”或通过相关的“分布式松弛”，将用于鞍点和刚性波问题的平滑器构造成简单的平滑器有效的系统。

教科书的多重网格效率是指以精细网格上少量残差评估（少至四个）的成本的一小部分解决离散化误差。这意味着随着级别数的增加，固定代数公差的迭代次数会减少。同时，由于多网格层次结构隐含的同步性，时间估计涉及对数项。

域分解（DD）

第一域分解方法只有一个级别。在没有粗略水平的情况下，预条件算子的条件数不能小于，其中是域的直径，是标称子域大小。实际上，一级DD的条件编号介于此范围和 $\mathcal O\big( \frac{L^2}{H^2}\big)$ $L$ $H$ 其中是元素大小。注意，Krylov方法所需的迭代次数按条件数的平方根缩放。与Dirichlet和Neumann方法相比，优化的Schwarz方法（Gander 2006）提高了常数和对依赖性，但通常不包括粗糙级别，因此在许多子域中会降低。有关域分解方法的一般参考，请参见Smith，Bjørstad和Gropp（1996）或Toselli和Widlund（2005）的书。 $\mathcal O\big( \frac{L^2}{hH} \big)$ $h$ $H/h$

为了获得最佳或准最佳收敛速度，需要多个级别。大部分DD方法被认为是两级方法，有些很难扩展到更多级。DD方法可以分类为重叠或不重叠。

重叠

这些Schwarz方法使用重叠，通常基于解决Dirichlet问题。可以通过增加重叠来增加方法的强度。这类方法通常很健壮，不需要对局部约束的问题进行局部零空间识别或技术修改（在工程实体力学中很常见），但由于重叠而需要额外的工作（尤其是在3D中）。此外，对于诸如不可压缩之类的约束问题，通常会出现重叠条带的inf-sup常数，从而导致次优收敛速度。Dorhmann ，Klawonn和Widlund（2008）以及Dohrmann和Widlund（2010）开发了使用与BDDC / FETI-DP类似的粗糙空间的现代重叠方法（如下所述）。

不重叠

这些方法通常可以解决某种Neumann问题，这意味着与Dirichlet方法不同，它们无法使用全局组装的矩阵，而需要未组装或部分组装的矩阵。最受欢迎的Neumann方法要么通过在每次迭代中进行平衡来强制子域之间的连续性，要么通过拉格朗日乘子来实现，而拉格朗日乘子仅在达到收敛后才强制进行连续性。这种早期方法（平衡Neumann-Neumann和FETI）要求每个子域的零位空间都具有精确的特征，既要构造粗糙的水平，又要使子域问题非奇异。后来的方法（BDDC和FETI-DP）选择子域角和/或边/面矩作为粗略的自由度。参见Klawonn和Rheinbach（2007）深入讨论3D弹性的粗略空间选择。Mandel，Dohrmann和Tazaur（2005）表明BDDC和FETI-DP具有相同的特征值，除了可能的0和1。

超过两个级别

大多数DD方法仅作为两级方法提出，并且有些选择不方便用于两个以上级的粗糙空间。不幸的是，特别是在3D中，粗糙级别的问题很快成为瓶颈，限制了可以解决的问题大小。此外，预条件算子的条件数，尤其是基于诺伊曼问题的DD方法，往往会随着

κ （ P_{DD}^{- 1个} 一种 ） = C （ 1个 + 升 Ø G \frac{H}{H} ）^{2 （ 大号 - 1个 ）}

$\kappa( P_{\text{DD}}^{-1} A ) = C \Big(1 + log \frac H h \Big)^{2(L-1)}$

其中是级别数。只要积极的粗化使用，这也许是不那么重要，因为应该是能够解决问题，超过个自由度的，但肯定是一个问题。请参阅此问题以进一步讨论此限制。 $L$ $L \le 4$ $10^{12}$

— 杰德·布朗
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这是一篇很棒的文章，但我认为说（多级）DD和MG有很多共同点是不准确的，或者至少没有用。这些方法有很大不同，我认为其中一个方面的专业知识在另一个方面不是非常有用。

首先，这两个社区使用不同的复杂度定义：DD优化了预处理系统的条件数，MG优化了工作/内存的复杂度。这是一个很大的根本区别-在这两种情况下，“最优性”的含义完全不同。当您增加并行复杂度时，事情不会改变（尽管您在MG中添加了对数术语）。这两个社区几乎使用不同的语言。

其次，MG内置了多层次的功能，并且多层次的DD方法都是通过两层次的理论和实现来开发的。这限制了可以在MG中使用的粗网格空间的空间-它们必须是递归的。例如，您不能在MG框架中实现FETI。人们做了一些如Jed提到的多级DD方法，但是至少某些当前流行的DD方法似乎不是可递归实现的。

第三，我认为算法本身与实践非常不同。定性地说，我想说DD方法会投影到域边界上并解决此接口问题。MG直接使用本机方程式。避免这种预测可以使MG轻松地应用于非线性和非对称问题。尽管该理论几乎解决了非线性和非对称问题，但它们已经为许多人服务。MG还明确地将问题分解为两部分：用于缩放的粗糙网格空间和用于求解物理问题的迭代求解器（平滑器）。这对于理解和与MG合作至关重要，并且对我来说是有吸引力的。

尽管从理论上讲，平滑器和粗糙网格空间是紧密耦合的，但实际上，您经常可以将不同的平滑器输入和输出作为优化参数。正如Jed所述，点平滑器或顶点平滑器很受欢迎，通常速度更快，但是对于具有挑战性的问题，较重的平滑器可能会有用。该图来自我的论文，显示了Jacobi，Jacobi块和“加性Schwarz”（重叠）的求解时间与泊松比的关系。它有点难以阅读，但在最高的泊松比（0.499）下，重叠的Schwarz比（顶点）Jocobi快约2倍，而在行人的泊松比下约慢3倍。

解决点，块和重叠平滑器的时间与泊松比

— 亚当斯
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根据Jed的回答，MG使用中等粗化效果，而DD使用快速粗化效果。我认为将它们并行化会有所不同。MG将经历多种通信和同步，以经历许多级别的粗化，这等效于DD的单个粗化。杰德回答的另一点是，MG使用便宜的平滑器，而DD使用强平滑器。考虑到这两点，据报道，粗略的MG将具有差的通信/计算比。因此，根据阿姆达尔定律，并行加速不好。这方面的一个补救措施是平行粗网格校正如BPX预条件。此外，MG可以像Adams所指出的那样使用DD更加平滑，并且MG也可以在DD的子域中使用。根据Barker指出的考虑，我猜想在DD中使用MG会更好，因为它同时利用了DD的并行模拟和MG的最佳复杂性。

— 张慧
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我想对Jed的出色回答做些补充，即两种方法背后的动机是不同的（或至少是不同的）。

领域分解是作为并行计算的一种技术。DD对于单层方法尤其是在并行计算机上实现是很自然的-将域划分为多个部分，并将每个部分分配给不同的处理器。从某种意义上讲，DD的动机是在处理器之间划分算术运算。

存在良好的并行多网格实现，但是并行执行通常较不自然。相反，多重网格背后的动机是首先减少运算量。

— 安德鲁·T·巴克
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这是一个很好的观点，但是我要补充一点，也是基于我从早期的DD演讲中获得的经验来重用现有的直接求解器（在大多数工程案例中）的动机。我从未实现过多级DD方法，但对我来说似乎并不“自然”。如果不是自然而然的话，那么对矩阵向量乘积进行并行化（除了需要为多网格实现的简单向量运算之外，唯一要做的就是）。

— 亚当斯

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$H$ $h$ $\mathcal{O}(\frac{1}{Hh})$

$h$ $H$

— 张慧
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仅供参考，这可能应该是对杰德答案的评论，而不是单独的答案。

— Jack Poulson

是的，我尝试过但找不到在Jed的回答下方添加评论的方法。

— 张晖

h

$h$

H

$H$

\frac{H}{h}

$\frac{H}{h}$