具有周期边界条件的线性弹性问题的适定性

对于某些应用，例如稳态传热和在多孔介质中的流动，可以通过在相对的边界面上施加周期性边界条件，在其余边界上施加狄利克雷bc来模拟更大（无限）的区域。对于二维矩形域，可以将周期性条件解释为该域位于圆柱体的表面上。

我很好奇是否可以针对弹性问题说同样的话。我注意到标准线性弹性问题仅限于有限域，并且从未见过规定或实施周期性边界条件的示例。我怀疑由于周期性引起的刚体运动（平移和/或旋转），此问题的解决方案的唯一性可能存在问题。

为简单起见，我们假设二维矩形域上的线性各向同性平面弹性情况。假设我想通过在两个相对边界上使用固定位移（狄利克雷）条件，在其余边界上使用周期性位移条件来对大型（周期性）介质建模。

这个问题是否正当？如果没有，知道我的最终目标是模拟具有重复材料特性的更大（无限）介质，是否可以使用一些策略（例如附加约束）使它处于适当状态？

您给出的例子是恰当的。如果固定了位移的子集包含边界的开放子集（在边界拓扑中），那么Korn的不等式成立，在您的情况下这是正确的。

简单的测试是：如果您在Dirichlet边界处固定刚体，是否仍可以移动它。例如，如果在二维上固定点，则对象可以围绕该点旋转。如果将点或线固定为3维，则相同。

如果最后您想要周期性的边界条件 $x$ 和 $y$方向，则必须施加一个附加约束，例如整个矩形的位移平均值为零。可能还必须消除旋转。