参考要求：对PDE和ODE算法的严格分析

我对有关数值PDE和ODE的书籍参考的建议很感兴趣，尤其是针对专业数学家编写的这种方法的严格分析。从列出数百种或数千种不同方法的意义上讲，它不必非常全面，但我会对至少涵盖指导现代技术的大多数关键概念的内容感兴趣。

我认为应该对数字线性代数的教科书进行类比，这对我来说比较熟悉。我在寻找与数值微分方程中的稳定性和截断误差有关的东西，因为Higham的数值算法的准确性和稳定性与数值线性代数中的稳定性和舍入误差有关，并且与Golub讨论ODE和PDE中的现代技术有关Van Van和Van Loan的《矩阵计算》讨论了线性代数技术的大多数主要类型。

实际上，我对数值ODE和PDE知之甚少。我一直在阅读各种在线笔记，并且有Randall LeVeque撰写的《用于常微分方程和有限差分方法的有限差分方法》一书，虽然很清楚，但不够深入。作为我要寻找的水平的一个更具体的示例，我希望椭圆和抛物线方程的任何部分都假定读者完全了解Sobolev空间及其嵌入的理论以及PDE的弱解，并使用结果从该理论中自由地得出有限元等的误差估计。

您将找不到系统地涵盖所有PDE重要方法分析的参考。PDE的离散化技术领域至少比您上面提到的任一主题大一个数量级。对于任何涉及隐式求解的方法，在不考虑求解方法（例如，关联的多重网格方法）的情况下研究离散化是将自己涂入“绝望不切实际”的角落的一种尝试且真实的方法。

大概您熟悉Brenner和Scott 的有限元方法数学理论。它是研究生级别的课文，尽管有介绍性的内容，但是您可以快速获得重要的结果。

对于有限元分析中的后验误差分析，一个很好的参考文献是Ainsworth和Oden的评论文章，有限元分析中的后验误差估计，1997年。

对于有限体积方法，您可能喜欢Acta Numerica的论文Morton和Sonar，《双曲线守恒律的有限体积方法》，2007年。正如Acta Numerica的论文所说的那样，引用率不是很高。我怀疑这部分是因为LeVeque的书非常好，并且因为大多数未使用过他的书的从业者都熟悉许多原始资料。尽管我不熟悉它，但您可能还会看到Bouchut，《双曲守恒定律的有限体积方法的非线性稳定性》。

我赞同杰德的观点，即与离散化同时考虑求解器的重要性。这是“纯粹的”数学家有时无法解决的事情，这对他们不利，因为他们正在解决错误的问题。诸如块结构，稀疏模式以及构建预处理器的能力之类的东西比诸如自由度/网格大小的数量之类的简单事物更重要。

Brezzi＆Fortin-“混合有限元方法”涵盖了与Brenner和Scott互补的材料。虽然它已经绝版了，但人们确实垂涎其副本，因此，如果您不想支付几百美元，则可能不得不从图书馆借来。

Rannacher等人在2000年初发表的一系列论文，例如“有限元方法中的后验误差估计的最优控制方法”，比Ainsworth和Oden的论文中所解释的更深入，更广泛地应用了后验误差估计。书（我认为）。

Sobolev空间并不是PDE的“万事俱备”功能空间，尽管您可能会阅读诸如Evans这样的入门级研究生书籍而获得印象。Besov空间更为通用且相当不错，它迫使您思考如何通过控制基本构件来构造某些功能空间的原因，从而限制振荡，可积分性和多尺度结构。关于功能空间的主题，一篇不错的“哲学”文章是Terry Tao在这里的帖子。特里贝尔的书（主要关于Besov空间），“功能空间理论II”，太棒了！Besov空间与小波之间有着很深的联系，因此DeVore 关于小波的可读性很好的文章很有用。

除了Jed的出色建议（我可以亲自将Brenner + Scott证明为一本出色的有限元入门书）之外，Butcher还是一本关于ODE数值解的极好的书：

http://books.google.com/books/about/Numerical_Methods_for_Ordinary_Different.html?id=opd2NkBmMxsC

那是我的圣经了好一阵子，直到我的大学图书馆回忆起它。

如果您已经对精巧的数学感到满意，那么您可能还会发现Ern + Guermond是一本有价值的书

http://books.google.com/books/about/Theory_and_Practice_of_Finite_Elements.html?id=CCjm79FbJbcC

阅读过Ern + Guermond的几篇论文后，我可以肯定地说，他们绝对倾向于繁重的形式主义。这些章节或多或少是自成一体的，有些符号可能需要翻转才能获得其定义。

对于PDE，具有与Ern和Guermond类似的功能分析风格的书是D. Braess，有限元素，剑桥大学出版社，2007年。作为一本教科书而不是研究专着，它虽然不那么全面，但更易于使用。另一方面，它也讨论了应用（主要是弹性）。

关于ODE，我相信圣经仍然是Hairer和Wanner的三卷著作（求解ODE I，求解ODE II和几何数值积分）。

最后，不要忽视互联网上许多优秀的讲义。