制造的不可压缩的Navier-Stokes解决方案-如何找到无散度的速度场？

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在制造解决方案（MMS）的方法中，假设一个精确的解决方案，将其代入方程式并计算相应的源项。然后将该解决方案用于代码验证。

对于不可压缩的Navier-Stokes方程，MMS容易导致连续性方程中的源项（非零）。但是，并非所有代码都允许连续性方程式中使用源项，因此对于这些代码，只有制造的具有无散度速度场的解决方案才可以。我发现该示例适用于域在一般的3D情况下，如何制造无散度的速度场？ $\Omega=[0,1]^2$

\begin{aligned} u_{1} & = - \cos (π x) \sin (π y) \\ u_{2} & = \sin (π x) \cos (π y) \end{aligned}

$\begin{align} u_1 &= -\cos(\pi x) \sin(\pi y) \\ u_2 &= \sin(\pi x) \cos(\pi y) \end{align}$

navier-stokes incompressible verification

— 克里斯
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使用矢量流函数或取两个梯度的叉积。即：

u = \nabla \times A

$\boldsymbol{u}=\nabla\times\boldsymbol{A}$ 其中

A

$\boldsymbol{A}$ 是您选择的矢量场，或

u = \nabla f \times \nabla g

$\boldsymbol{u}=\nabla f\times\nabla g$ 其中

f

$f$ 和

g

$g$ 是您选择的两个标量字段。

很难使速度保持无散度并规定边界条件，但是只要您的代码允许您为边界条件设置任意函数，就可以了。

ETA：当然，您的动量方程必须要接受一个强制函数，但是与强制在连续性方程中添加右侧相比，我对强迫动量方程一直感觉更好。

— 比尔·巴特
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谢谢！（据我所知，连续性方程的强制仅发生在空化模型中）

— chris

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这不是一个普遍的答案，但是对于Navier-Stokes方程，有一些描述实际流量的制造解决方案。例如，Kovasznay流场是一个受欢迎的选择：

http://link.springer.com/article/10.1007/BF00948290

原始参考是：Kovasznay LIG，“二维网格后面的层流”。程序剑桥Philos。，第44页，1948年。

— 沃尔夫冈·邦格斯
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1948（！）我没有意识到这是“真实的流动”。就是说，您实际上可以在物理实验中对它进行测量（而不是在数值实验中进行模拟）？

— 克里斯，

我相信，是的。

— Wolfgang Bangerth

否。它是网格后面一定距离内的理想流动。但是没人知道网格的外观，最有可能的是网格必须由“非常柔软”的材料制成

— Guido Kanschat

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那就是我通常所做的。

定义简化功能：

Ψ = [\begin{matrix} ψ_{x} \\ ψ_{y} \\ ψ_{z} \end{matrix}]

$\Psi = \left[ \begin{array}{c} \psi_x\\ \psi_y\\ \psi_z\\ \end{array} \right]$

速度等于：

u = \nabla \times Ψ = [\begin{matrix} u_{x} = \partial_{y} ψ_{z} - \partial_{z} ψ_{y} \\ u_{y} = \partial_{z} ψ_{x} - \partial_{x} ψ_{z} \\ u_{z} = \partial_{x} ψ_{y} - \partial_{y} ψ_{x} \end{matrix}] .

$\mathbf{u} = \nabla\times\Psi = \left[ \begin{array}{c} u_x =\partial_y \psi_z - \partial_z \psi_y\\ u_y =\partial_z \psi_x - \partial_x \psi_z\\ u_z =\partial_x \psi_y - \partial_y \psi_x\\ \end{array} \right].$

现在，您可以选择任何合理的零平均压力并构造一个强迫项。

我发布了和齐次边界条件的SymPy示例代码，请享受： $\Omega = [0,1]^3$

 from sympy import *

 x,y,z = symbols('x y z')

 X = Matrix([[x],[y],[z]])

 psi = zeros(3,1)
 psi[0,0] = sin(2*pi*x)*y**2*(1-y)**2*z**2*(1-z)**2
 psi[2,0] = x**2*(1-x)**2*y**2*(1-y)**2*sin(2*pi*z)

 curl_psi = zeros(3,1)
 curl_psi[0] = diff(psi[2],X[1]) - diff(psi[1],X[2])
 curl_psi[1] = diff(psi[0],X[2]) - diff(psi[2],X[0])
 curl_psi[2] = diff(psi[1],X[0]) - diff(psi[0],X[1])

— 尼古拉·卡瓦利尼（Nicola Cavallini）
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