与不对称矩阵相比，求解对称矩阵有任何数值优势吗？

我正在将有限差分方法应用于3个耦合方程组。两个方程式不耦合，但是第三个方程式与另外两个方程式耦合。我注意到，通过将方程式的顺序从更改为，系数矩阵变得对称。$(x, y, z)$$(x, z, y)$

这样做有什么好处吗？例如，就解决方案的稳定性或效率/速度而言。矩阵非常稀疏，如果这很重要，则非零项沿中心对角线。

绝对！

首先，一些线性代数系统足够智能，只可以存储矩阵的一半，这样可以节省大量内存。但是，即使不是这种情况，数值线性代数中的各种算法也会利用对称性。

例如，给定一个对称矩阵，任何特征求解器都会立即知道所有特征值都是实值，并且求解方法可以使用该事实。

许多人会想到的典型事情是方程组 Krylov子空间方法：如果您的问题是对称的，那么您就不需要像GMRES这样的非对称问题的方法，并且可以驻留在更少的问题上像MINRES这样的内存密集型，或者-如果矩阵也是正定的-CG。尽管Krylov方法的收敛行为不受排列的影响，所以您甚至可以对未排列的系统使用对称方法。$Ax=b$

另一个例子是您的矩阵的因子分解在到下三角部分和上三角部分。如果是对称的，则，您只需要存储一个因子（Cholesky分解）。$A=LU$$L$$U$$A$$A=LL^T$