用数值方法解决一些PDE问题时，可变比例缩放是否必不可少？

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在半导体仿真中，通常需要对方程进行缩放以使它们具有归一化的值。例如，在极端情况下，半导体中的电子密度可能会变化超过18个数量级，而电场会发生形状变化，变化超过6个（或更多）数量级。

但是，论文从未真正给出这样做的理由。我个人很高兴以实际单位处理方程式，这样做有任何数值上的优势，否则是不可能的吗？我认为使用双精度数字将足以应付这些波动。

这两个答案都非常有用，非常感谢！

pde condition-number scaling

— Boyfarrell
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“可以变化超过18个数量级”-如果您考虑以双精度保留多少个数字，您会发现“以双精度将有足够的数字来应对这些波动”是真的吗？

— JM

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当您将这些数字输入数值算法时，真正的问题就开始了：取平方，突然之间有36个数量级的差异……

— Christian Clason

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求解（线性）PDE在于将方程离散化以生成线性系统，然后由线性求解器求解，其收敛度（速率）取决于矩阵的条件数。缩放变量通常会减少此条件数，从而提高收敛性。（这基本上等于应用对角预处理器，请参阅Nicholas Higham的数值算法的准确性和稳定性。）

此外，求解非线性PDE还需要一种用于求解非线性方程的方法，例如牛顿法，其缩放比例也会影响收敛。

由于对所有内容进行规范化通常只需很少的精力，因此几乎总是一个好主意。

— 克里斯蒂安·克拉森
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我敢肯定@ArnoldNeumaier在这个话题上还有更多话要说。

— 克里斯蒂安·克拉森

我正在使用的矩阵的条件数（未缩放变量）为〜1.25。这看起来合理吗？这是使用2-norm方法（docs.scipy.org/doc/numpy/reference/generated/…）计算的。

— boyfarrell

@boy，如果没有什么别的乘以1.25，那么这是一个不错的条件数，特别是如果你还记得的单式矩阵有

。

κ_{2} = 1

$\kappa_2=1$

— JM

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@boyfarrell：我通常使用条件编号最大为10 ^ 7的方法，结果令人满意。但是，我不接受高于10 ^ 9的条件编号。

— jvriesem 2015年

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解决方案具有严格边界的PDE带来的问题超出了能够以浮点表示解决方案的范围。当溶液具有某种物理意义（例如密度（密度本身不能小于0））时，尤其如此。考虑，例如，

- ε Δ ü + ü = 0 上 Ω ， ü = 1个 上 \partial Ω 。

$-\varepsilon \Delta u + u = 0 \text{ on } \Omega,\\ u = 1 \text{ on } \partial\Omega.$

也就是说，没有缩放变量或域的方法可以消除此困难。

$u_{\alpha}$

- α^{2} Δ ü = F_{α} 上 α Ω

$-\alpha^2\Delta u = f_\alpha \text{ on } \alpha\Omega$

α

$\alpha$

u_{1}

$u_1$

- Δ ü = F 上 Ω 。

$-\Delta u = f \text{ on } \Omega.$

u_{α} (x) := u_{1} (x / α)

$u_{\alpha}(\mathbf{x}):=u_1(\mathbf{x}/\alpha)$ 对于任何

α

$\alpha$ 。这表明扩展参数

α

$\alpha$ 根本不真正影响解决方案的行为-这在这里很明显，但是在其他情况下可能很难看到。您可以用相同的方式构造具有更多参数的非常复杂的示例，例如Navier-Stokes and its nondimensionalization into the Reynolds-number-formulation.

— Nico Schlömer
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然后，其余参数对于确定溶液的定性行为必不可少-这就是为什么雷诺数在流体动力学中如此重要的原因。此过程称为“无量纲化”。

— 克里斯蒂安·克拉森

当然，找到这样的参数等效项本质上是找到PDE的对称组的问题，这通常很难解决

— lurscher 2013年

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从大数减去小数以及许多其他方面，处理浮点数可能是一个技巧。我建议阅读John D. Cooks关于它们的博客文章，例如

浮点数的剖析

以及甲骨文的

每位计算机科学家都应该了解浮点运算

同样，用于最小化或最大化的某些数值算法需要归一化以确保数值稳定性。

— 菲利普·诺德沃尔
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