生成运动网格的基本原理是什么？

我对实现对流扩散问题的移动网格感兴趣。自适应运动网格方法提供了一个很好的示例，说明如何使用有限差分对一维Burger方程进行此操作。有人能够提供一个使用移动网格的有限差分法求解一维对流扩散方程的实例吗？

例如，以保守的形式，等式为

其中是速度（空间的函数）。初始条件u （0 ，x ）可以指定（例如）从左向右（例如，沿着管道）流动的流动物种，其中初始条件具有急剧的梯度。$a(x)$$u(0,x)$

如何解决运动网格的均分布问题（可能使用De Boor算法或其他方法）？我希望自己在Python中实现此功能，以便您的答案可以更好地转换为代码！

悬赏之前的旧问题

1. 根据系统属性生成自适应网格的基本方法是什么？我应该使用通量来衡量梯度较大的地方吗？
2. 因为我寻求一种迭代（时间扫描）解决方案。我想从旧网格插值到新网格很重要，通常的方法是什么？
3. 我真的很想看到一个解决简单问题（例如对流方程）的实例。

有关该问题的细节的一些背景知识。我正在模拟一维耦合方程组，

$\frac{\partial u}{\partial t} = a_u\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + b_u\frac{\partial u}{\partial x} + f_u(x,u,v,w) \\ \frac{\partial v}{\partial t} = a_v\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + b_v\frac{\partial v}{\partial x} + f_v(x,u,v,w) \\ \frac{\partial w}{\partial t} = a_u\frac{\partial u}{\partial x} +a_v\frac{\partial v}{\partial x} + f_w(x,u,v,w) \\ $

这组方程描述了两个对流扩散问题，第三个方程与其他两个方程耦合。解决方案在网格中心附近迅速变化，请参见下文（这些是说明而非计算），

$u$$v$$w$

$w$

$u$$v$$w$

自适应网格是一种网格网络，可自动将高流场梯度区域中的网格点聚类。它使用流场属性的解决方案在物理平面中定位网格点。自适应网格随着时间的流逝与控制流场方程的时间相关解一起发展，该解以时间为单位计算流场变量。在求解过程中，物理平面中的网格点以这种方式移动，以“适应”流场梯度较大的区域。因此，物理平面中的实际网格点在流场的解算过程中始终处于运动状态，并且仅在流解接近稳态时才变为静止。

网格自适应可用于稳定和不稳定类型的问题。在存在稳定流动问题的情况下，在预定的迭代次数后对网格进行适应，并且网格适应将在求解收敛时停止。在时间精确解决方案的情况下，结合物理问题的时间精确解决方案执行网格点运动和细化。这需要时间精确地耦合物理问题的PDE和描述网格运动或网格适应的PDE。

对于较新配置的计算，要依赖于网格生成的最佳实践准则和以前的经验，这会带来大量数值误差。网格自适应方法可以极大地提高解决方案质量，并有望带来更好的结果，因为不存在限制可以达到的网格分辨率极限的限制。

$h$$r$$p$$rp$$hp$$r$$h$

$h$

$h$

$r$

r自适应方法不是通过对网格及其连接进行局部拓扑更改，而是通过移动固定总数的网格点的位置对分辨率进行局部更改。

$p$

网格自适应的非常流行的方法是有限元方法，而不是有限体积或有限元方法。它通过用相同几何元素阶数丰富内插函数的多项式来减少解决方案中的错误。宽高比和偏斜。因此，它在结构应用中非常有名。

$Driving-sources-of-grid-adaptation$

$1. Feature-based-adaptation$ 基于特征的网格自适应方法被广泛使用，它采用解决方案的特征作为网格自适应的驱动力。这些通常使用解的特征，例如解梯度和解曲率。具有较大求解梯度的流区域将以更多的点进行解析，并且最小化重要性最小的区域。这导致对物理上特定的区域进行细化，例如边界层，冲击，分离线，停滞点等。在某些情况下，基于梯度的细化实际上会增加求解误差，因此存在一些有关基于特征的自适应的问题，例如健壮性和其他。

$2.Truncation-error-based-adaption$ 截断误差是偏微分方程与其离散方程之间的差。截断错误是更合适的方法来查找应该在哪里发生适应。基于截断误差的自适应背后的一般概念是将误差平均分配到仿真域中，以减少总离散误差。对于简单的方程式，截断误差的评估是最简单的工作，但对于复杂的方案则很难，因此为此需要不同的方法。对于简单的离散化方案，可以直接计算截断误差。对于难以直接估计截断的更复杂的方案，需要一种估计截断误差的方法。

$3.Adjoint-based-adaptation$

祝一切顺利！

$References:-$

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我（仍然）正在为此寻找良好的答案。我使用多层自适应网格，在其中使用某种标准进行细化。进行FEM的人们享受（作为计算）相当便宜的严格误差估计，这些误差估计被用作改进标准。对于我们进行FDM / FVM的工作，我还没有找到任何这样的估计的运气。

在这种情况下，如果您想严格地进行细化，即基于对实际误差的某种估计来进行细化，那么您（几乎）唯一的选择是理查森外推法。例如，Berger和Oliger（1984）的块结构AMR双曲解算器就使用了这种方法。就您几乎可以使用Richardson Extrapolation解决任何问题而言，该方法论是通用的。唯一的问题是它很昂贵，尤其是对于瞬态问题。

除了理查森外推法，所有其他标准（以我的拙见）只是临时的。是的，您可以为“感兴趣的数量”设置一个特定的阈值，然后根据该阈值进行优化。您可以使用一定数量的通量或导数来警告较大的梯度并使用它。或者，如果您正在跟踪界面，则可以根据与界面的接近程度进行优化。当然，所有这些都很便宜，但是没有严格的要求。

至于网格之间的插值，通常需要的精度至少与求解器一样。有时可以建立满足某些特性的插值，例如节省质量或凸出，从而不会引入新的极值。我注意到最后一个属性有时对于整个方案的稳定性非常重要。

如果确实是一维的，那么您在这里可能就不需要任何自适应网格，对于这样一个简单的问题，您可以使用静态网格以及现代工作站的计算能力来解决您所需要的一切。但这是一种完全合理的策略，它可以在时间积分过程中定期确定需要强调数值分辨率的区域，然后在其中添加网格点（并从超分辨区域中删除网格点），然后插值到新网格中。但这不应该太频繁地进行，因为插值可能会很昂贵，并且会在整体计算中增加数值误差。