计算

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函数具有靠近奇点。但是，可以提高奇点：对于，应该使，因为 $f \colon x \mapsto (e^x-1)/x$ $x = 0$ $x = 1$ $f(x) = 1$ 因此

e^{x} = \sum_{k = 0} \frac{x^{k}}{k!}

$e^x = \sum_{k=0} \frac{x^k}{k!}$

然而，形式

不仅在没有定义

，它也是在该点附近的数值不稳定; 为了在数值上评估非常小的

，可以使用泰勒展开，即上述幂级数的截断。

(e^{x} - 1) / x = \sum_{k = 1} \frac{x^{k - 1}}{k!}

$(e^x - 1)/x = \sum_{k=1} \frac{x^{k-1}}{k!}$

(e^{x} - 1) / x

$(e^x-1)/x$

x = 0

$x = 0$

f (x)

$f(x)$

x

$x$

问：函数是否有名称？换句话说，这是一个普遍的问题吗？ $f$

问：是否有人知道可以很好地处理这种情况的C / C ++库，即使用适当度数的Taylor展开式接近0，而其他表示形式则远离零？

c++ c

— 匿名
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$\mathtt{expm1}$ $e^x-1$ $x=0$

— n00b
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这是取消错误的实例。C标准库（从C99开始）包括一个名为的函数expm1，可以避免此问题。如果使用expm1(x) / x代替(exp(x) - 1.0) / x，则不会遇到此问题（请参见下图）。 <code> fabs（expm1（x）/ x-（exp（x）-1.0）/ x）</ code>

在数值算法的准确性和稳定性的 1.14.1节中详细讨论了这个特殊问题的细节和解决方案。在W. Kahan的论文的第19页中也解释了相同的解决方案，该论文的标题为 浮点计算中舍入的无心评估有多无效？。expm1在GNU C库中的实际实现与上面的参考文献中描述的方法不同，并且在源代码中有详细记录。

— 胡安·贝洛·里瓦斯
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1

谢谢，这就是我所需要的！不幸的是，我只能接受一个答案...

— 匿名

当然！没问题:-)

— Juan M. Bello-Rivas

3

要回答第一个问题，不，该函数没有名称（至少不是一个广为人知的名称）。

正如其他人提到的那样，计算函数的最佳方法是处理几种特殊情况。这是任何库将如何计算函数的方式。

情况0：x = 0，返回1。
$|x|<\delta$ $1+x/2$ $\delta$ double2e-85e-4
否则：return expm1(x)/x。

截断的泰勒级数可以使更多的事情变得更加复杂，并且有更多特殊情况，但这可能不值得。实际上，尚不清楚案例1是否需要单独处理，因为k20指出，取消是安全的。但是，单独处理它会使我对此更有信心。

— 刘维达
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2

~~我记得这个问题早在此站点上曾被问过，令人惊讶的答案是，您只需要将完全相等的特殊情况设为零即可。误差几乎抵消了零。我没有链接。~~

是的，这个答案是完全错误的。我不确定为什么这么多赞成，可能是因为它这么权威。我找到了我所想的链接。它是在这里的数学stackexchange上，而不是在scicomp stackexchange上。所述expm1-free误差抵消式在由JM答案给出并且使用u = exp(x)变换。

— k20
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x

$x$

d x

$dx$

(e^{d x} - 1) / d x

$(e^{dx} - 1)/dx$

(1 + d x - 1) / d x

$(1+dx - 1)/dx$

1

$1$

1

d x

$dx$

1 + d x = 1

$1+dx=1$

0

要回答第一个问题并为第二个问题提供（可能在数值上无效）方法，请注意，这是伯努利数的生成函数的逆函数。

— 尼古拉·K
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这是一个有趣的联系，感谢您指出。不幸的是，我相信三倍的金额将使这笔费用过高。而且，尚不清楚立即在何处截断每个和以获得所需的精度。

— 匿名

@匿名：你是说三倍的总和？您不需要伯努利多项式，只需要伯努利数，就可以提前列出它们。但是，是的，它仍然不比泰勒系列更好。

— Nikolaj-K

如果很明显，仅对于任何输入只需要一个固定的有限数，则可以提前计算它们。

— 匿名

@匿名者：是的，就像您提前列出泰勒系数一样。

— Nikolaj-K