Krylov子空间方法可以用作多网格的平滑器吗？

据我所知，多网格求解器使用迭代平滑器（例如Jacobi，Gauss-Seidel和SOR）来衰减各种频率下的误差。可以使用Krylov子空间方法（例如共轭梯度，GMRES等）代替吗？我不认为它们被归类为“平滑剂”，但是它们可以用于近似粗网格解决方案。我们可以期望看到与标准多网格方法类似的解决方案收敛吗？还是取决于问题？

是的，可以，但是Krylov方法通常没有很好的平滑特性。这是因为它们以自适应方式将整个频谱作为目标，从而使残差或误差的适当范数最小。这通常将包括一些低频（长波长）模式，粗网格会很好地处理这些模式。Krylov平滑器还会使多重网格循环变为非线性，因此，如果将多重网格用作外部Krylov方法的前提，则外部方法应“灵活”（例如GCR或FGMRES）。

使用Krylov平滑器还大大增加了必须计算的点积的数量，这成为并行出现的重大瓶颈。但是，即使具有这些吸引人的属性，Krylov平滑器有时还是有用的，尤其是对于其中没有好的插值运算符的难题而言。

一个更流行的替代方法是使用多项式平滑器（通常是Chebyshev）。这些方法针对光谱的指定部分。对于对称的椭圆偏微分方程（其中离散的操作者是对称正定或几乎如此），这是常见的估计的最大特征值的d - 1个甲其中d - 1是点块Jacobi预处理器为甲和目标的范围内像（0.1 λ 最大，1.1 λ 最大$\lambda_\max$$D^{-1}A$$D^{-1}$$A$$(0.1 \lambda_{\max}, 1.1 \lambda_{\max})$。多项式平滑器没有归约关系，是线性运算（对于任何选择的多项式，通常在，也许 5）。通常几次迭代（说 5至 10也被一些代数多重网格方法选择粗大化战略。$1$$5$$5$$10$）GMRES或CG的用于估计，所以用户不需要计算这些自己。的估计λ $\lambda_\max$$\lambda_\max$

Adams，Brezina，Hu和Tuminaro（2003）是一篇有关多项式平滑器的并行和算法性能的不错的论文。请注意，多项式平滑器对于非对称问题往往不太有效（和/或难以表述），在这种情况下，您可能会希望使用高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）或更复杂的（块/分布）松弛方案。