刚性ODE系统的定义

考虑ODE系统的IVP，。最常见的是这个问题被认为是刚性的，当雅可比矩阵有两个非常大的负实部的特征值和特征值非常小的负实部（我认为只有稳定案件）。$y'=f(x,y)$$y(x_0)=y_0$$\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)$

在另一方面，在只有一个方程的情况下，例如普罗瑟罗-罗宾逊方程$y'=\lambda y + g'+\lambda g$，它被称为硬当$\lambda\ll -1$。

所以有两个问题：

1. 为什么ODE系统的刚度定义中包含小的特征值？我相信，仅存在非常大的负实部就足以使系统变得僵硬，因为这使我们对明确的方法使用了很小的时间步长。

2. 是的，我知道最常见的刚性问题（例如，由抛物线形偏微分方程引起的）的特征值的确很大。因此，第二个问题是：是否有一个很好的自然例子，说明大型刚性系统没有非常小的特征值（或者具有适度的）？$\lambda_{\max}/\lambda_{\min}$

好，让我们修改问题。考虑两个二维线性ODE系统：第一个具有特征值{-1000000，-0.00000001}，第二个具有{-1000000，-999999}。对我来说，他们都很僵硬。但是，如果我们考虑刚度比定义，则第二个系统就没有。主要问题：为什么完全考虑刚度比？

问题的第二部分仍然很重要，换句话说：我正在寻找一个具有大的负特征值和适度的刚度比（不大于100）的“自然”大型ODE系统。

刚度涉及到一些鳞片的分离。通常，如果您对系统中最快模式的阶段感兴趣，则必须解决它，并且系统并不僵硬。但通常，您对“慢流形”的长期动态感兴趣，而不是对慢流形的解决方案接近它的精确速率感兴趣。

化学反应和反应流是刚性系统的常见示例。该德波尔振荡器面包车是具有可调刚度paramater ODE集成一个共同的基准问题。

海洋是另一个可能有助于可视化的示例。海啸（表面重力波）以飞机的速度传播并产生复杂的波浪结构，但会在很长时间内消散，并且与海洋的长期动力无关紧要。涡流，或相反，以相当的行人速度慢行约100倍，但会引起混合和运输温度，盐度和相关的生物地球化学示踪剂。但是，与传播表面重力波相同的物理学也支持涡流（准平衡结构），因此涡流速度，科氏力下的路径和耗散率取决于重力波速度。这为设计用于刚性系统的时间积分方案提供了一个机会，以跨过重力波的时标并仅解决相关的动态时标。看到Mousseau，Knoll和Reisner（2002）通过分离和完全隐式时间积分方案的比较讨论了这个问题。

相关：何时在双曲PDE的集成中使用隐式方法？

注意，扩散过程通常被认为是刚性的，因为在离散系统最快的时间尺度是目相关的，具有缩放，但相关物理的时间尺度是啮合独立。实际上，给定网格的最快时间尺度表示对较慢歧管的空间局部弛豫，在更长的尺度上演化，因此即使没有解析最快尺度，隐式方法即使在强规范中也可以非常准确。$(\Delta x)^2$

第1部分

小特征值不包括在ODE（初始值问题）系统的刚度定义中。我没有令人满意的刚度定义，但是我遇到的最好定义是：

如果将具有绝对稳定性的有限区域的数值方法应用于具有任何初始条件的系统，则必须在一定的积分间隔内使用相对于该间隔内精确解的平滑度而言过小的步长，则该系统在该间隔内是刚性的。（兰伯特，法学博士（1992年），《常微分系统的数值方法》，纽约：威利。）

$[0,b]$

刚性方程是这样的方程，其中某些隐式方法（尤其是BDF）的性能要优于显式方法，通常通常要好得多。（CF Curtiss＆JO Hirschfelder（1952）：刚性方程的积分。PNAS，第38卷，第235-243页）

Wikipedia上有关刚性方程的文章继续将以下“陈述”归因于Lambert：

1. 如果线性所有系数的本征值均具有负实部并且刚性比较大，则该线性刚性系数系统为刚性。

2. 当稳定性要求而不是精度要求限制步长时，就会发生刚度。[请注意，此“观察”实质上是Ascher和Petzold的定义。]

3. 当溶液中某些成分的衰减快于其他成分时，就会发生刚度。

这些观察中的每一个都有反例（尽管坦率地说，我无法从头顶产生一个）。

第2部分

我想出的最好的例子可能是将任何类型的大型燃烧反应系统与化学动力学相结合，从而产生点火。方程系统将一直是刚性的直到点火，然后它将不再是刚性的，因为系统已经通过了初始瞬变。本征值的最大值与最小值之比不应大，除非在点火事件周围，但除非您设置了非常严格的积分公差，否则此类系统会混淆刚性积分器。

Hairer和Wanner的书在其第一部分（第四部分，第1部分）中也给出了其他一些示例，这些示例说明了刚性方程的许多其他示例。（Wanner，G.，Hairer，E.，求解常微分方程II：刚性和微分代数问题（2002），施普林格。）

最后，值得指出对CW Gear的观察：

尽管通常谈“刚性微分方程，”一个方程本身是不发硬，对于方程特定的初始值的问题可能是刚性的，在某些区域，但这些区域的大小依赖于初始值和所述容错能力。（CW Gear（1982）：振荡和/或刚性常微分方程的自动检测和处理。在：微分方程的数值积分中，数学讲义，第968卷，第190-206页。）

实际上，杰德·布朗（Jed Brown）为我解决了这个问题。我现在正在做的只是将他的话放在上下文中。

1. 上面的两个二维线性ODE系统在相对较大的时间间隔（例如[0,1]）上都是僵硬的（即很难用显式方法求解）。

2. 具有大刚度比的线性系统可以被认为是“更刚性的”，因为最有可能需要在较大的时间间隔内对其进行积分。这是由于对应于最小特征值的慢分量所致：解决方案缓慢趋于稳态，而达到该稳态通常很重要。

3. 另一方面，在大的间隔上集成具有较小刚度比的系统并不重要：在这种情况下，可以很快达到稳态，我们可以对其进行推断。

感谢所有的讨论！

特征值的绝对大小（在线性自治问题中）根本没有任何意义。这是您选择用来表达问题的单位的人工产物。

评论链已失去控制，因此我将其作为答案。我不会回答完整的问题。如我所说，请参阅Wikipedia或其他答案。我只是在回答说

考虑两个二维线性ODE系统：第一个具有特征值{-1000000，-0.00000001}，第二个具有{-1000000，-999999}。对我来说，他们都很僵硬。但是，如果我们考虑刚度比定义，则第二个系统就没有。主要问题：为什么完全考虑刚度比？

好的，让我们考虑第二种情况的示例：

$t^* = 1000000\cdot t$

注意1：我选择了对角线系统使其完全可见，但是如果将其与具有这些特征值的另一个系统一起尝试，则会看到相同的效果，因为将矩阵乘以常数会将其特征值乘以相同的常数。

$|\lambda|\gg1$