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高振荡积分的数值评估
在这一高级课程中，复杂函数理论在一次练习中的应用是高度振荡的 一世（λ ）= ∫∞- ∞cos（λ COSx ）罪XXdX一世（λ）=∫-∞∞cos（λcosX）罪XXdXI(\lambda)=\int_{-\infty}^{\infty} \cos (\lambda \cos x) \frac{\sin x}{x} d x 对于大的λλ\lambda值，必须使用鞍点法在复平面中进行近似。 由于其高度振荡的性质，使用大多数其他方法很难评估该积分。这是λ = 10λ=10\lambda = 10时不同比例的积分图的两个片段： 前导渐近逼近为 一世1个（λ ）= cos（ λ - 14π）2个πλ---√一世1个（λ）=cos（λ-1个4π）2πλI_{1}(\lambda) = \cos \left(\lambda-\frac{1}{4} \pi\right) \sqrt{\frac{2 \pi}{\lambda}} 进一步（小得多）的改进增加了术语 一世2（λ ）= 18罪（ λ - 14π）2个πλ3---√一世2（λ）=1个8罪（λ-1个4π）2πλ3I_2(\lambda)=\frac{1}{8} \sin \left(\lambda-\frac{1}{4} \pi\right) \sqrt{\frac{2 \pi}{\lambda^{3}}} 近似值与λλ\lambda如下： 现在是我的问题：为了直观地看到近似值，我想将其与积分的“实际值”进行比较，或更准确地说，是使用独立算法将其与相同积分的近似值进行比较。由于次要修正的规模很小，我希望这确实很接近。 我尝试使用其他算法评估某些λλ\lambda的积分，但收效甚微：使用默认数值积分器的Mathematica和Matlab未能产生有意义的值（并明确报告此值），而mpmath则同时使用了双指数谭（sinh ）谭（辛）\tanh(\sinh)替换和Gauss-Legendre方法产生非常嘈杂的结果，尽管它确实有轻微的趋势围绕鞍点方法给出的值振荡，如下图所示： …