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高振荡积分的数值评估
在这一高级课程中,复杂函数理论在一次练习中的应用是高度振荡的 一世(λ )= ∫∞- ∞cos(λ COSx )罪XXdX一世(λ)=∫-∞∞cos⁡(λcos⁡X)罪⁡XXdXI(\lambda)=\int_{-\infty}^{\infty} \cos (\lambda \cos x) \frac{\sin x}{x} d x 对于大的λλ\lambda值,必须使用鞍点法在复平面中进行近似。 由于其高度振荡的性质,使用大多数其他方法很难评估该积分。这是λ = 10λ=10\lambda = 10时不同比例的积分图的两个片段: 前导渐近逼近为 一世1个(λ )= cos( λ - 14π)2个πλ---√一世1个(λ)=cos⁡(λ-1个4π)2πλI_{1}(\lambda) = \cos \left(\lambda-\frac{1}{4} \pi\right) \sqrt{\frac{2 \pi}{\lambda}} 进一步(小得多)的改进增加了术语 一世2(λ )= 18罪( λ - 14π)2个πλ3---√一世2(λ)=1个8罪⁡(λ-1个4π)2πλ3I_2(\lambda)=\frac{1}{8} \sin \left(\lambda-\frac{1}{4} \pi\right) \sqrt{\frac{2 \pi}{\lambda^{3}}} 近似值与λλ\lambda如下: 现在是我的问题:为了直观地看到近似值,我想将其与积分的“实际值”进行比较,或更准确地说,是使用独立算法将其与相同积分的近似值进行比较。由于次要修正的规模很小,我希望这确实很接近。 我尝试使用其他算法评估某些λλ\lambda的积分,但收效甚微:使用默认数值积分器的Mathematica和Matlab未能产生有意义的值(并明确报告此值),而mpmath则同时使用了双指数谭(sinh )谭⁡(辛)\tanh(\sinh)替换和Gauss-Legendre方法产生非常嘈杂的结果,尽管它确实有轻微的趋势围绕鞍点方法给出的值振荡,如下图所示: …
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