如何推断一维信号？

我有一个长度一定的信号，例如1000个样本。我想将此信号扩展到5000个采样，并以与原始采样率相同的速率采样（即，我想预测如果继续采样较长时间，信号将是什么）。信号由加在一起的几个正弦波分量组成。

我首先想到的方法是获取整个FFT，然后对其进行扩展，但这会在帧1001处留下非常强的不连续性。我还考虑过仅使用峰值附近的频谱部分，尽管这似乎可以在某种程度上改善信号，在我看来似乎并不能保证相位是正确的。扩展此信号的最佳方法是什么？

这是一些MATLAB代码，展示了我想要的理想方法。当然，我不会事先知道确切有3个正弦波分量，也没有确切的相位和频率。我要确保函数是连续的，在移至501点时没有跳跃，

vals = 1:50;
signal = 100+5*sin(vals/3.7+.3)+3*sin(vals/1.3+.1)+2*sin(vals/34.7+.7); % This is the measured signal
% Note, the real signal will have noise and not be known exactly.
output_vals = 1:200;
output_signal = 100+5*sin(output_vals/3.7+.3)+3*sin(output_vals/1.3+.1)+2*sin(output_vals/34.7+.7); % This is the output signal

figure;
plot(output_signal);
hold all;
plot(signal);

基本上，给定绿线，我想找到蓝线。

根据来源，以下论文中描述的基于DCT的光谱插值方法看起来很有希望：

lk，HG，GülerS. “基于改进的DCT合成的信号变换和插值”，《数字信号处理》，出版社，2011年。

这是论文中显示插值示例的图之一：

该技术在丢失段恢复中的应用（例如4.2。丢失基音周期的合成）可能与外推最为相关。换句话说，抓住一块现有的源材料，假装在边缘和您选择的任意线段之间有丢失的线段，然后“重构”“缺失”部分（并可能丢弃最后使用的线段）。似乎该技术的一个更简单的应用将可以无缝地循环源材料（例如3.1。频谱幅度的内插）。

我认为您正在寻找线性预测编码（也称为自回归移动平均值）。LPC通过首先将线性模型拟合到时间序列来推断时间序列，其中每个样本均假定为先前样本的线性组合。将模型拟合到现有的时间序列后，可以继续运行以推断更多的值，同时保持平稳的（？）功率谱。

这是Matlab中的一个小示例，使用该lpc函数估算LPC系数。

N = 150;    % Order of LPC auto-regressive model
P = 500;    % Number of samples in the extrapolated time series
M = 150;    % Point at which to start predicting

t = 1:P;

x = 5*sin(t/3.7+.3)+3*sin(t/1.3+.1)+2*sin(t/34.7+.7); %This is the measured signal

a = lpc(x, N);

y = zeros(1, P);

% fill in the known part of the time series
y(1:M) = x(1:M);

% in reality, you would use `filter` instead of the for-loop
for ii=(M+1):P      
    y(ii) = -sum(a(2:end) .* y((ii-1):-1:(ii-N)));
end

plot(t, x, t, y);
l = line(M*[1 1], get(gca, 'ylim'));
set(l, 'color', [0,0,0]);
legend('actual signal', 'extrapolated signal', 'start of extrapolation');

当然，在实际代码中，您将filter通过使用LPC系数a作为IIR滤波器并将已知的时间序列值预加载到滤波器状态中来实现外推；像这样的东西：

% Run the initial timeseries through the filter to get the filter state 
[~, zf] = filter(-[0 a(2:end)], 1, x(1:M));     

% Now use the filter as an IIR to extrapolate
y((M+1):P) = filter([0 0], -a, zeros(1, P-M), zf); 

这是输出：

尽管预测由于某种原因随时间而消失，但它的工作还是很合理的。

我实际上对AR模型了解不多，也想知道更多信息。

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编辑：@china和@Emre是正确的，Burg方法似乎比LPC更好。只需将上面的代码更改lpc为arburg，即可得到以下结果：

可以在这里找到代码：https：//gist.github.com/2843661

通过使用BURG方法估算LP系数，一维“外推”非常简单。一旦有了LP系数，就可以通过应用滤波器轻松计算时间采样。Burg预测的样本是您输入时间段的下一次样本。

如果您完全确定信号中只有很少的频率成分，则可以尝试使用MUSIC算法来找出信号中包含的频率，然后尝试从那里开始工作。我不完全确定是否可以使其正常工作。

此外，由于您的数据是完全确定性的，因此您可以尝试构建某种非线性预测变量，使用现有数据集对其进行训练，然后对其进行推断。

一般来说，这是一个外推问题，您是否想对Google 进行价格的Fourier外推之类的事情？