为什么在FFT中会出现频谱泄漏？

我已经尝试使用谷歌搜索和维基百科了，但是除了“这是因为输入信号的频率位于两个区间之间”之外，我没有得到任何答案。

我知道这是原因，但是我不明白的是为什么泄漏似乎扩展到几个相邻的容器，而不是仅一个相邻的容器。

为了说明我在说什么，这里有一些模拟数据（文章末尾的代码）：

上面是频率为10的正弦波的FFT频谱（按对数标绘）。采样率为1，采样数为100。该图已进行FFT移位。显然在bin 10处只有一个峰值，其余的则处于数值误差的数量级左右。

这是产生的频率为10.1的频谱。显然，与直接相邻的垃圾箱相比，存在更多的垃圾箱“泄漏”。

这是频率为10.5的图。

问题：为什么会出现这种泄漏，为什么会泄漏到所有其他垃圾箱，而不是直接相邻的垃圾箱？

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代码，适合任何有兴趣的人（Python代码）

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

xFreq = 10.5
xSize = 100.0
xPeriod = xSize/xFreq
x = np.linspace(1,xSize,xSize)

data = np.sin(2*np.pi*x/xPeriod)
fft = np.fft.fft(data)
fft = np.fft.fftshift(fft)

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
ax.plot(abs(fft), "o")
ax.set_yscale('log')
plt.show()

我将xFreq值从更改10.0为10.5，等等。

FFT具有有限的长度，因此构成了数据流上的默认矩形窗口。时域中的窗口会随着窗口的变换而在频域中产生卷积。请注意，矩形窗口的变换是Sinc函数（sin（x）/ x），具有无限的宽度。它的宽度不仅仅是2个垃圾箱。因此，Sinc函数的波动将显示为“泄漏”，远离任何在FFT长度上不是完美周期性的频谱峰值。

下图显示了Sinc函数的频率响应的一部分。当音调集中在两个音轨之一上时，所有其他点都与频率响应中的零点对齐。如果它不在一个音柱上居中，那就像是在改变整个频率响应，这会使其他音柱落在频率重起的非零部分上。

另一种看待它的方法是，FFT只是一个滤波器组，其中每个滤波器的阻带底限都有很多纹波，并且在距中心频率超过1 bin处的衰减中肯定不是无限的。除矩形外，有些窗户（冯·汉恩（von Hann）等）的阻带较低，这是其广泛使用的原因之一。

hotpaw2的答案很好，但我想对user5133的评论进行详细说明：

感谢您没有通过说“ FFT假定其输入序列是周期性的”来解释泄漏。可悲的是，“假定的周期性”这一愚蠢的概念在DSP文献中经常被重复出现。

同时也回答这个问题。请注意，我注意到该领域的专家---随时发表评论，更正或确认。

$\mathbb{Z}$$\{1,2,\dots, N\}$

$$X(\omega )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\,e^{-i\omega n}.$$

$N$$N$$\mathbb{Z}$

$${\displaystyle X_{k}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\cdot e^{-2\pi ikn/N},\quad k\in \mathbb {Z} \,}$$ $X(2\pi k/N)$$n$$\{1,2,\dots, N\}$$x[n]w[n]$$w$$n\in\{1,\dots,N\}$

但是产品的傅立叶变换是傅立叶变换的卷积：

$$\mathcal{F}\{f \cdot g\}= \mathcal{F}\{f\}*\mathcal{F}\{g\}$$

$\text{sinc}$

$$\int_{-\infty}^\infty w(f)e^{-j\omega t} dt = \int_{-\tau}^{\tau} e^{-j\omega t}dt =2\tau \text{sinc}(\omega \tau)$$

$\text{sinc}$