关于2个空间信号的协方差矩阵的问题

每当我认为我了解了协方差矩阵时，都会有人提出不同的表述。

我目前正在阅读本文：

J. Benesty，“用于无源声源定位的自适应特征值分解算法”，J。Acoust。Soc。上午。第107卷，第1期，第384-391页（2000）

我遇到了一个我不太了解的表述。在这里，作者正在构建两个信号 $x_1$ 和之间的协方差矩阵。这两个信号来自不同的传感器。 $x_2$

对于一个信号的协方差矩阵，我知道我们可以通过计算回归矩阵，然后将其乘以同一矩阵的Hermitian，然后除以（原始向量的长度）来获得。这里的协方差矩阵的尺寸可以是任意的，具有最大尺寸为。 $N$ $N\times N$

对于两个空间信号的协方差矩阵，如果将第一个信号放在矩阵的第一行中，将第二个信号放在矩阵的第二行中，然后乘以其Hermitian，再除以，则得到两个空间信号的协方差矩阵。 $N$ $2\times 2$

然而，在本文中，笔者单位计算什么样子4个 matricies，，和，然后将它们放入一个超级矩阵和呼叫协方差矩阵。 $R_1{}_1, R_1{}_2, R_2{}_1$ $R_2{}_2$

为什么会这样呢？这是文本的图片：

在此处输入图片说明

covariance

— 太空的
source

如果每个元素都有两个信号向量和，那么我们可以考虑两个不同的事物。 $x_1[n]$ $x_2[n]$ $N$

如何量比较？特别是，当所述信号是嘈杂和的噪声可以被认为是共同固定的（或共同广义平稳），这些量可用于估计噪声在两个信号方差以及噪声的协方差在任何固定的采样时间。 这就是您从 $\displaystyle\sum_{n=1}^N x_i[n]x_j[n],~ i, j \in \{1,2\}$ $2\times 2$ 协方差矩阵在噪声具有方差，这可能是不同的从，在噪声的方差。但是噪声与协方差相关
${[R}_{2 \times 2} = [\begin{matrix} σ_{1个}^{2} & C \\ C & σ_{2}^{2} \end{matrix}] 。$ $R_{2\times 2} = \left[\begin{matrix} \sigma_1^2 & C\\ C & \sigma_2^2\end{matrix}\right].$ $x_1[n]$ $\sigma_1^2 = R_{1,1}$ $R_{2,2} = \sigma_2^2$ $x_2[n]$ 。现在，如果我们打算只处理在处发生的事情，而忽略在或等处可能发生的事情，那么这就是我们所需要的全部信息。 $R_{1.2}=R_{2,1} = C$ $n$ $n-1$ $n+1$
除非已知该噪声为（或假定为）白噪声，以便来自不同采样时刻的噪声样本是独立的（因此是不相关的），或者我们只是假设不相关的噪声样本，否则我们将忽略一些信息，而无需考虑相关性在和，来自同一过程的采样在不同的时间或位置，以及和之间的相关性 $x_1[n]$ $x_1[m]$ $x_1[n]$ $x_2[m]$ ，这是两个过程在不同时间或位置的样本。这些附加信息可能会导致更好的估计/解决方案。现在我们总共有噪声样本，因此需要考虑协方差矩阵。如果我们按照作者的方式安排问题，我们有，其中 $2N$ $2N \times 2N$ $R_{\text{full}} = E[XX^T]$ ，因此
$X = （ X_{1个} [1个] ， X_{1个} [2] ， \dots ， X_{1个} [ñ] ， X_{2} [1个] ， X_{2} [2] ， \dots ， X_{2} [ñ] ）^{Ť} = （ X_{1个} ， X_{2} ）^{Ť}$ $X = (x_1[1],x_1[2],\ldots,x_1[N],x_2[1],x_2[2],\ldots,x_2[N])^T = (\mathbf x_1,\mathbf x_2)^T$ ，其中。需要注意的是是，在本质上， 互相关的函数和 ${[R}_{充分} = [\begin{matrix} {[R}_{X_{1个} ， X_{1个}} & {[R}_{X_{1个} ， X_{2}} \\ {[R}_{X_{2} ， X_{1个}} & {[R}_{X_{2} ， X_{2}} \end{matrix}]$ $R_{\text{full}} = \left[ \begin{matrix}R_{\mathbf x_1,\mathbf x_1} & R_{\mathbf x_1,\mathbf x_2}\\ R_{\mathbf x_2,\mathbf x_1} & R_{\mathbf x_2,\mathbf x_2}\end{matrix} \right]$ $R_{\mathbf x_i,\mathbf x_j} = E[\mathbf x_i\mathbf x_j^T]$ $R_{\mathbf x_i,\mathbf x_j}$ $(x_i[1],x_i[2],\ldots,x_i[N])$ 如果，则 自相关函数，如果。如果噪声过程是白色的，不相关的，除了当，然后其中 $(x_j[1],x_j[2],\ldots,x_j[N])$ $i \neq j$ $i = j$ $n = m$ ${[R}_{充分} \to {[R}_{简单} = [\begin{matrix} σ_{1个}^{2} 一世 & C 一世 \\ C 一世 & σ_{2}^{2} 一世 \end{matrix}]$ $R_{\text{full}} \rightarrow R_{\text{simple}} = \left[ \begin{matrix}\sigma_1^2I & CI\\ CI & \sigma_2^2I \end{matrix}\right]$ 是同一性矩阵，和是如第1项定义的上方。最终用户需要确定此噪声模型的逼真度。如果模型是现实的，则通过查看矩阵不会获得任何结果，因为所有信息都在矩阵 $I$ $N\times N$ $\sigma_1^2, \sigma_2^2$ $C$ $2N\times 2N$ $R_{\text{full}}$ $2\times 2$ $R_{2\times 2}$ 以上第1项。如果模型不切实际，但我们不打算（或无法）使用全部矩阵中的所有信息，则同上；我们将用只和第1条，我们不需要或，只需。 $2N\times 2N$ $R_{\text{full}}$ $\sigma_1^2, \sigma_2^2$ $C$ $R_{\text{full}}$ $R_{\text{simple}}$ $R_{2\times 2}$

— 迪利普·萨瓦特（Dilip Sarwate）
source

谢谢。首先，难道（1）中的sigma不应该说从n = 0到N-1吗？（不是从i = 1到n）。

— Spacey 2012年

我不确定我是否仍然了解我们为什么这样做。您是在说（1），因为两个向量中的噪声都是彼此完全独立的，所以我们必须使用该方法，从而获得2x2的协方差矩阵，但是在第二种情况（2）中，因为向量中的噪声不是独立的，我们必须将两个向量连接起来，然后计算它们的协方差矩阵？为什么呢恐怕我仍然不明白这里的动机...

— Spacey 2012年

谢谢，我会再读一遍。同样，sigma的下标必须为“ n”，而不是“ i”。

— Spacey 2012年

明天我会再记一些问题/评论，但现在，的“正式”名称是什么

R_{2}_{x}_{2}, R_{full}

$R_2{}_x{}_2, R_{\text{full}}$

R_{simple}

$R_{\text{simple}}$

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$