使用FFT设计FIR滤波器有什么问题？

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我试图了解使用带卷积滤波器内核的“第一原理”设计的FIR滤波器与使用FFT的两种方式之一设计的滤波器之间的关系（请参见下文）。

据我了解，FIR滤波器的脉冲响应与滤波器的卷积内核是一样的。（如果我错了纠正我。）

另外，据我所知，FIR滤波器的脉冲响应的成分频率（即傅立叶变换）与滤波器的频率响应相同。因此，傅立叶逆变换将使我获得脉冲响应。（同样，如果我做错了，请纠正我）。

这使我得出两个结论（忽略相位响应或假设线性相位响应）：

通过“绘制”所需的频率响应，采用IFFT来获得脉冲响应，并将其用作卷积内核，我应该能够设计出具有任意频率响应的FIR滤波器。
或者，我应该能够通过对输入信号进行FFT，在频域中乘以所需的任意频率响应，并对结果进行IFFT来生成输出信号，从而创建一个滤波器。

直觉上，感觉1和2是等效的，但是我不确定是否可以证明这一点。

似乎人们（和DSP文献）都竭尽全力设计具有预定义响应的FIR内核，使用诸如Chebyshev或Remez这样的复杂（对我而言）算法（我抛出了一些我已经读过的名字，但并没有真正理解它们）。

当对于每个可能的FIR内核都存在FFT / IFFT变换时，为什么要采用这些长度？
为什么不简单地绘制所需的确切频率响应，进行IFFT，然后得到FIR内核（上面的方法1）？

— 布莱霍伊特
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如果感兴趣的话，我感兴趣的领域是数字音频/数字音乐。

— bryhoyt

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您看到人们设计FIR滤波器而不是采用直接方法（如1和2）的原因之一是直接方法通常无法考虑频域中的周期性，而使用FFT实现卷积的事实是圆卷积。

这是什么意思？

假设您有一个信号和一个滤波器脉冲响应（卷积核；您是正确的，它们是相同的）。 $x = [ 1, 2, 3, 4]$ $h = [ 1, 1 ]$

卷积是，是5个长度的向量。如果使用FFT（长度错误，为4），则得到的答案为。产生差异的原因是这两者的线性卷积结果为长度5，但圆形卷积的结果与FFT长度无关。 $y = x *h$ $[1, 3, 5, 7, 4]$ $[3, 5, 7, 5]$

如果FFT长度大于或等于线性卷积结果的长度，则两者相同。否则，两者是不一样的（除非数据以某种方式密谋做到这一点，例如，如果一个信号为零）。

— 彼得·K.
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可以，但是为什么不能再确保FFT / IFFT大小与最终卷积长度相称呢？例如，卷积长度为N + M-1，因此只需确保在傅立叶域中“画出”频率响应，长度为M-1。为什么不行呢？有趣的东西顺便说一句。:)

— TheGrapeBeyond

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M - 1

$M-1$

2

长度为M-1的频率响应仍然具有无限的长度脉冲响应。这意味着当您进行IFFT以获得滤波后的结果时，滤波器的脉冲响应的尾部将环绕（多次）并增加最终的时域结果。也许一点。也许很多。

— hotpaw2

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一个问题是使用无限长FFT处理无限长的变换。有限长度频率响应的傅立叶变换是无限长度脉冲响应或滤波器内核。大多数人希望过滤器在其耗尽或耗尽计算机内存之前完成，因此需要技巧来生产更短的FIR过滤器。与“经典”滤波器原型之一相比，仅使无限脉冲响应的尾部环绕FFT，或将其截短至某个通用长度，就可能会为您所需的频率规格产生劣等的FIR滤波器。

另一个问题是，随机的“绘制”频率响应在任何有限分辨率下，绘制点之间通常都具有可怕的响应（野生的过冲）。转换为FIR滤波器，它会像疯了似的响起。经典滤波器原型设计为具有在采样点之间平滑的频率响应功能。

您的（2）称为快速卷积，通常在FFT长于数据窗口长度加组合的滤波内核的情况下使用，并且使用适当的重叠添加/保存来照顾每个卷积段的开始/结束或窗口（因为FFT的长度通常是块状的）。

— hotpaw2
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6

关于1）：是的，您可以通过“绘制”频率响应（在幅度和相位上）来设计FIR滤波器，但这往往效率很低：脉冲响应的长度（和滤波器阶数）只是预先确定的-由FFT长度决定如果选择128点FFT，则将获得128个抽头，以获得脉冲响应；如果选择4096点FFT，则将获得4096个滤波器抽头。

关于2）：是的，您可以在频域中通过乘法进行滤波，这确实是对大脉冲响应进行有效滤波的唯一方法。但是，正如Peter K所指出的，频域中的乘法对应于圆卷积。实现线性卷积的最常见方法是“重叠添加”或“重叠保存”算法（易于谷歌搜索）。

— 希尔玛
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3

我不确定我是否理解这里所说的所有内容，但我想说明傅里叶变换方法。

首先，这是一种设计FIR滤波器的非常灵活和直接的方法。正如您所说，要做的就是定义幅度和相位响应。但是，正如所说的那样，您确实需要谨慎定义响应。任意响应可能需要大量抽头来实施并给出可怕的时域响应。因此，请谨慎定义。

其次，确实是这样的情况：例如，对于某些特定要求，Parks McClellan方法可以产生比傅立叶方法更好的滤波器，但是它不容易控制抽头数，并且还不容易定义幅度，相位和阶跃响应。方法。

例如，假设您要设计一个具有类似于10极IIR贝塞尔（BIR）的特性的FIR滤波器，但是您想稍微缩小过渡带（以阶跃响应过冲为代价）。然后，傅立叶方法使这个问题很容易解决，大约需要22个抽头，具体取决于过渡带的宽度。

如果您想了解傅里叶方法的功能，请尝试以下FIR程序 http://www.iowahills.com/5FIRFiltersPage.html（免费）。例如，它可以设计等效于高斯，贝塞尔，巴特沃思和逆切比雪夫滤波器的IIR。通常，它使您可以将滤波器的响应调整为几乎所有情况，这是傅立叶方法的强项。不利的一面是，对于某些特定要求，过滤器可能不是最佳的。

— user5108_Dan
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看起来确实很有趣。我必须尝试使用该软件才能真正掌握发生的情况-该网页似乎并没有太多详细地描述其方法。但据我所知，这似乎是一种混合，您可以操纵以更传统的方式生成的滤波器原型的频率响应。那是对的吗？我认为您说的是对的-您需要谨慎定义响应方式，否则最终会产生大量点击。AFAIU，这是专门设计具有频率响应的滤波器的大问题。

— bryhoyt

1

AFAIK，这就是所谓的“天真过滤方法”。您可以影响频率空间中某些点的频谱内容，但是对于这些点之间的频率内容没有做任何有用的事情。如果您设计合适的FIR滤波器，则实际上还要考虑这些主要点之间的点，并且这种滤波器比第一个要好得多。

问候，布尔。

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