从函数样本估计泰勒级数系数

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假设我有一个函数测量值，并且在处采样并带有一些噪声，这可以通过泰勒级数展开来近似。是否有一种公认的方法可以根据我的测量结果估算出该膨胀系数？ $y = y(x)$ $x_i$

我可以将数据拟合为多项式，但这并不完全正确，因为对于泰勒级数，您越靠近中心点（例如x = 0），近似值就会越好。仅拟合多项式就可以平等地对待每个点。

我还可以在扩展时估算导数的各种阶数，但是然后我需要决定要使用哪些微分滤波器以及每个滤波器有多少个滤波器系数。用于不同导数的过滤器是否需要以某种方式组合在一起？

那么有人知道为此建立方法吗？对论文的解释或参考将不胜感激。

澄清说明

作为对以下评论的回应，我的采样是一个无限函数的矩形窗口，该函数不一定受带宽限制，但不具有强大的高频分量。更具体地说，我正在根据估算器的参数（基础组织的变形或应变水平）测量估算器的方差（测量医学超声信号中的位移）。我有一个理论上的泰勒级数，用于将方差作为变形的函数，并希望将其与我从仿真中得到的结果进行比较。

一个类似的玩具示例可能是：假设您有一个类似于ln（x）的函数，该函数以x的间隔采样，并添加了一些噪声。您不知道它真正的功能是什么，并且您想要估计它在x = 5附近的泰勒级数。因此，该函数在您感兴趣的点周围的区域内是平滑且缓慢变化的（例如2 <x <8），但在该区域外不一定很好。

答案很有帮助，某种最小二乘多项式拟合可能是采取的途径。但是，使泰勒级数估计值与正常多项式拟合不同的原因是，您应该能够去除高阶项，并使多项式仍近似原始函数，只是在初始点附近的较小范围内。

因此，也许该方法将是仅使用接近初始点的数据进行线性多项式拟合，然后进行二次拟合，并使用更多数据，然后使用三次以上的拟合，等等。

noise estimators approximation

— 马特
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一些问题（可能不相关）：通过采样，您是说功能被/限制在某些Fs / 2频率以下？您的样本是具有无限函数，重复函数还是完整函数的矩形窗口？

— hotpaw2'1

就像Dilip在他的答案中指出的那样，使用泰勒级数展开式需要您了解所有采样点上函数的导数。我想您可以利用

的导数的理论表达式，但是这在某种程度上削弱了使用独立模拟来确认理论的效用。为了最好地模拟关于高阶项的泰勒级数行为，像您建议的那样使用不同阶次多项式拟合的方法可能会有用。

y (x)

$y(x)$

— 杰森·R

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可以使用最小二乘拟合代替精确的多项式拟合，该最小二乘拟合将找到指定阶数的多项式，以最小化拟合和测得的对之间的总平方误差。这可以帮助减轻噪声对合身性的影响。 $(x_i,y_i)$

$y_i$ $y = f(x)$ $x_i$ $i = 0, 1, \ldots , N$ $M \le N$ $M = N$ $N$ $M$ $p_k$

y_{i} = p_{M} x_{i}^{M} + p_{M - 1} x_{i}^{M - 1} + \dots + p_{1} x_{i} + p_{0}, i = 0, 1, \dots, N

$y_i = p_Mx_i^M + p_{M-1}x_i^{M-1} + \ldots + p_1x_i + p_0, \;\;\;\;\;i = 0, 1, \ldots , N$

最小二乘问题可以通过将度量安排为矩阵向量形式来解决：

A = [\begin{array}{cc} x_{0}^{M} & x_{0}^{M - 1} & \dots & x_{0} & 1 \\ x_{1}^{M} & x_{1}^{M - 1} & \dots & x_{1} & 1 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ x_{N}^{M} & x_{N}^{M - 1} & \dots & x_{N} & 1 \end{array}], y = [\begin{array}{cc} y_{0} \\ y_{1} \\ ⋮ \\ y_{N} \end{array}]

$\mathbf{A} = \left [ {\begin{array}{cc} x_0^M & x_0^{M-1} & \cdots & x_0 & 1 \\ x_1^M & x_1^{M-1} & \cdots & x_1 & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ x_N^M & x_N^{M-1} & \cdots & x_N & 1 \end{array} } \right ], \;\;\mathbf{y}= \left [ {\begin{array}{cc} y_0 \\ y_1 \\ \vdots \\ y_N \end{array} } \right ]$

$\left[p_M, p_{M-1}, \ldots , p_0\right]$

\tilde{p} = (A^{T} A)^{- 1} A^{T} y

$\mathbf{\tilde p} = (\mathbf{A^TA})^{-1} \mathbf{A^Ty}$

$(\mathbf{A^TA})^{-1} \mathbf{A^T}$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{\tilde p}$ $x$

— 杰森·R
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在等距横坐标的情况下，这与对数据应用Savitzky-Golay平滑没有什么不同。

加1是一个不错的答案。LSE确实非常普遍。

— Tarin Ziyaee 2013年

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现在忽略噪声。

$n+1$ $(x_i,y_i)$ $x_i$ $f(x)$ $n$ $y=g(x)$ $g(x)$ $e^x$ $(x+a)/(x+b)$ $g(x)$ $g(x)$ $x=0$ $g(0)$ $g^{(k)}(x) = \frac{\mathrm d^kg(x)}{\mathrm dx^k}, k=1,2,\ldots$ $x=0$ $g(x)$ $n+1$ $x_i$ $x_i = 0$ $i$ $g(0)$ $g^{(k)}(0)$ $k=1, 2, \ldots$

$g(x)$ $x=0$ $g(x_i)$ $h(x)=\sum_k h_kx^k$ $g^{(k)}(0)$ $h^{(k)}(0) = k!h_k$

$n+1$ $(x_i,g(x_i))$ $g(x)$ $g(x)$ $n$ $h(x)$ $n+1$

$x_i$ $0$ $x_i$ $m < n$ $x=0$ $0$ $0$ $0$

$3$ $(-1,y_{-1}), (0,y_0), (1,y_1)$

\begin{aligned} f (x) & = y_{- 1} \frac{x (x - 1)}{2} - y_{0} (x^{2} - 1) + y_{1} \frac{x (x + 1)}{2} \\ = y_{0} + \frac{y_{1} - y_{- 1}}{2} x + \frac{y_{1} - 2 y_{0} + y_{- 1}}{2} x^{2} \end{aligned}

$\begin{align*} f(x) &= y_{-1}\frac{x(x-1)}{2} -y_0(x^2-1) + y_{1}\frac{x(x+1)}{2}\\ &= y_0 + \frac{y_1-y_{-1}}{2}x + \frac{y_1-2y_0 + y_{-1}}{2}x^2 \end{align*}$

x

$x$

x^{2}

$x^2$

g (x)

$g(x)$

g (- 1) = y_{- 1}, g (0) = y_{0}, g (1) = y_{1}

$g(-1) = y_{-1}, g(0) = y_0, g(1)=y_1$

— 迪利普·萨瓦特（Dilip Sarwate）
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