双线性变换有替代方法吗？

当基于模拟滤波器设计数字滤波器时，我们通常使用双线性变换。为了从模拟（连续）传递函数近似离散传递函数，我们用$D_a(z)$$A(s)$

$$z = \frac{1+sT/2}{1-sT/2}$$

其中是采样周期。替代地，为了从离散传递函数近似连续传递函数，我们用$T$$A_a(s)$$D(z)$

$$s = \frac{2}{T} \frac{z-1}{z+1}$$

是否有执行这种转换的替代方法？有更好的近似值吗？

如果极点在s平面的左半部分（左图），则模拟滤波器是稳定的；如果极点在单位圆内（右图），则数字滤波器是稳定的。因此，数学模拟量转换为数字量所需的只是从半空间到单位磁盘的映射（共形？），从轴到单位圆的映射。进行此转换的任何转换都可以替代双边转换。$\jmath\Omega$$\vert z\vert=1$

脉冲不变性方法和匹配Z变换方法是两种众所周知的方法。从概念上讲，这两者都类似于对我们熟悉的连续波形进行采样。用表示拉普拉斯逆变换，将Z变换表示为，这两种方法都涉及将模拟滤波器的脉冲响应计算为$\mathcal{L}^{-1}$$\mathcal{Z}$

$$a(t)=\mathcal{L}^{-1}\{A(s)\}$$

并以足够高的采样间隔对进行采样以避免混叠。然后从采样序列获得数字滤波器的传递函数，如下$a(t)$$T$$a[n]$

$$D_a(z)=\mathcal{Z}\{a[n]\}$$

但是，两者之间存在关键差异。

脉冲不变性方法：

在这种方法中，将模拟传递函数扩展为部分分数（不在Peter提到的匹配Z变换中）为

$$A(s)=\sum_m \frac{C_m}{s-\alpha_m}$$

其中是常数，是极点。在数学上，分子小于分母的分子的任何传递函数都可以表示为部分分数的和。仅低通滤波器满足该标准（高通和带通/带阻至少具有相同的程度），因此不能使用脉冲不变方法来设计其他滤波器。$C_m$$\alpha_m$

它失败的原因也很清楚。如果您在分子中具有与分母相同程度的多项式，那么您将拥有一个独立的常数项，该常数项在进行逆变换后将提供无法采样的增量函数。

如果执行拉普拉斯逆向变换和正向Z变换，则会看到极点变换为，这意味着如果您的模拟滤波器稳定，则数字滤波器也将稳定。因此，它保持了滤波器的稳定性。$\alpha_m \to e^{\alpha_m T}$

匹配的Z变换

在这种方法中，您无需将脉冲响应分成部分分数，而是以与和类似的方式（匹配）对极点和零点进行了简单的转换。（也是保持稳定性），得到$\beta_m\to e^{\beta_m T}$$\alpha_m\to e^{\alpha_m T}$

$$A(s)=\frac{\prod_m (s-\beta_m)}{\prod_n (s-\alpha_n)}\longrightarrow \frac{\prod_m \left(1-z^{-1}e^{\beta_m T}\right)}{\prod_n \left(1-z^{-1}e^{\alpha_n T}\right)}$$

您可以轻松地看到这两种方法的局限性。脉冲不变式仅在您的滤波器为低通且匹配的z变换方法适用于带阻和带通滤波器（以及高达Nyquist频率的高通）时才适用。实际上，它们也受采样率的限制（毕竟，您只能上升到某个点），并且会受到混叠的影响。

迄今为止，双线性变换是实践中最常用的方法，而以上两种方法更符合学术利益。关于转换回模拟，很抱歉，但我不知道，在这里也无济于事，因为我几乎从未使用过模拟滤波器。

有很多方法可以完成从到的映射。该控制社区有一些东西，说些什么。$s$$z$

一些例子是：

匹配的Z变换

此处，域传递函数写为部分分数展开式：$s$

$$Y(s) = \frac{a_0}{s + s_0} + \frac{a_1}{s + s_1} + ...$$

直接使用以下公式完成部分分数扩展的每个部分的转换：

$$s + s_n = 1 - z^{-1} \exp(-s_nT)$$

辛普森法则

对双线性变换的一种解释是，它是使用梯形规则通过近似积分从连续时间转换为离散时间的一种方法。

近似积分的一种更准确的技术是使用Simpson规则。如果使用此近似值，则结果映射为：

$$s = \frac{3}{T} \frac{z^2 - 1}{z^2+4z+1}$$