如何计算对数间隔的功率谱？

我想计算一个功率频谱，其中频率以对数间隔分布。

在韦尔奇（Welch）的方法中，要在所得功率谱的频率分辨率和平均值（即结果误差）之间进行权衡。我希望这种权衡是动态的，即对低频点进行较少的平均值计算，以便在低频下获得更好的分辨率。

有标准的方法吗？

我想一种方法是首先pwelch以非常高的分辨率（较低的平均数）进行处理，然后使用对数合并重新合并结果频谱。

我找到了一篇论文，直接解决了这个问题：

• MichaelTröbs和Gerhard Heinzel，“ 根据对数频率轴上的数字化时间序列改进的频谱估计 ”，在 Measurement，第39卷（2006），第120-129页中。（或免费的预印本。）

本文的前几幅图很好地说明了该算法解决的问题，并且参考文献中包含其他方法的有用参考书目（恒定Q变换，回火傅立叶变换，调查文章等）。

他们的方法不是重新组合现有基于FFT的功率谱估计的输出，而是仅在感兴趣的（对数间隔）频率上计算离散傅立叶变换。对于要估计的每个频率，它们基本上实现了韦尔奇算法，但是具有为每个频率专门选择的变换长度（因此还有平均次数）。每个频点的计算使用整个时间序列，但分段方式不同。结果具有令人满意的性质，即分辨率（箱宽）是频率的平滑函数，并且可以将结果校准为功率谱密度或功率谱。

Matlab实现在这里：https : //github.com/tobin/lpsd

披露：本文的作者与我位于同一机构。

在这种情况下，我将使用 最小二乘法来计算某些已知值列表的频率。最常见的方法是Lomb方法。它的工作原理与FFT或DFT十分相似，但是它只会计算每个确定频率下的频率，如果有问题，它可以处理丢失的数据。这个想法如下：

1. $w$要计算），以适合您要采样的所需频带。
2. $w$$t_j$$X_j$

$P_x(\omega) = \frac{1}{2} \left( \frac { \left[ \sum_j X_j \cos \omega ( t_j - \tau ) \right] ^ 2} { \sum_j \cos^2 \omega ( t_j - \tau ) } + \frac {\left[ \sum_j X_j \sin \omega ( t_j - \tau ) \right] ^ 2} { \sum_j \sin^2 \omega ( t_j - \tau ) } \right)$

请注意，这不会像FFT那样好缩放，因此，只有在所需频率的数量比收集所有数据所需的FFT低得多的情况下，我才这样做。

否则，可以执行插值方法或对FFT或DFT进行任何其他重新采样。