为什么FIR滤波器即使有极点也仍然稳定？

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FIR滤波器为何总是稳定？
由于它们包含电线杆，难道它们不应该比其他电线杆更受稳定性问题的影响吗？

filters finite-impulse-response

— 用户名
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如果FIR全部为零，则FIR处于稳定状态

— dato datuashvili 2014年

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不正确：FIR总是稳定的，零点可以位于他们想要的任何位置，包括单位圆之外。示例：过滤器[1 -6 11 -6]在z = 1、2和3处为零

— Hilmar，2014年

同样，@ Hilmar，这取决于FIR的实现方式。实施为截断IIR（TIIR）的FIR可能在内部不稳定。实现为简单的横向FIR滤波器，是的，始终稳定。即使使用“快速卷积”（使用FFT和“重叠添加”或“重叠保存”）实现，它也是稳定的。有时当实现为TIIR滤波器时，它是稳定的（如果内部IIR是稳定的）。但是作为TIIR实施的FIR 在内部可能不稳定。

— 罗伯特·布里斯托

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FIR滤波器仅包含零，没有极点。如果滤波器包含极点，则为IIR。IIR滤波器确实存在稳定性问题，必须谨慎处理。

编辑：

经过一番思考，再加上一些涂鸦和搜索，我认为我对FIR极点这个问题有一个答案，希望对感兴趣的各方满意。

从看似无极的FIR滤波器的Z变换开始：如在RBJ的回答中所示，FIR极由的分子和分母乘以揭示由：因此，在一般FIR滤波器的原点产生极点。

H （ ž ） = \frac{b_{0} + b_{1} ž^{- 1} + b_{2} ž^{- 2} + \dots + b_{ñ} ž^{- ñ}}{1}

$H(z) = \frac{b_0 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2} + \cdots + b_N z^{-N}}{1}$

H (z)

$H(z)$

z^{N}

$z^{N}$

H （ ž ） = \frac{b_{0} ž^{ñ} + b_{1} ž^{ñ - 1} + b_{2} ž^{ñ - 2} + \dots + b_{ñ}}{ž^{ñ}}

$H(z) = \frac{b_0 z^{N} + b_1 z^{N-1} + b_2 z^{N-2} + \cdots + b_N }{z^{N}}$

N

$N$

但是，为了证明这一点，将因果关系的假设放在过滤器上。确实，如果我们考虑不考虑因果关系的更通用的FIR滤波器：在原点出现了不同数量的极数：

G （ ž ） = \frac{b_{0} ž^{ķ} + b_{1} ž^{ķ - 1} + b_{2} ž^{ķ - 2} + \dots + b_{ñ} ž^{ķ - ñ}}{1}

$G(z) = \frac{b_0 z^{k} + b_1 z^{k-1} + b_2 z^{k-2} + \cdots + b_N z^{k-N}}{1}$

(N - k)

$(N-k)$

G （ ž ） = \frac{b_{0} ž^{ñ} + b_{1} ž^{ñ - 1} + b_{2} ž^{ñ - 2} + \dots + b_{ñ}}{ž^{ñ - ķ}}

$G(z) = \frac{b_0 z^{N} + b_1 z^{N-1} + b_2 z^{N-2} + \cdots + b_N }{z^{N-k}}$

因此，我得出以下结论：

（回答原始问题）通常，FIR滤波器的确有极点，尽管总是在Z平面的原点。由于它们永远不会超出单位范围，因此不会对FIR系统的稳定性构成威胁。
FIR信号的极数对应于滤波器阶数和因果关系的“度”。因此，可以构造没有极点的FIR滤波器，但是这些滤波器是无因的- 即，它们对于实时处理是不可想象的。对于正因果的阶FIR滤波器，原点有极点。 $N$ $k$ $N^{th}$ $(k=0)$ $N$
在原点处构想极点的最简单方法可能是一个简单的延迟元素：然后，典型的FIR滤波器可以看作是因果滤波器，其次是足够的延迟元素，使其成为因果关系。 $H （ ž ） = ž^{- 1} = \frac{1}{ž}$ $H(z) = z^{-1} = \frac{1}{z}$

— 肯尼德
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实际上，IIR滤波器不是很危险。

— user7358 2014年

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FIR滤波器包含的极点数量与零个数一样多。但所有极点都位于原点。 $z=0$

因为所有极点都位于单位圆内，所以FIR滤波器表面上很稳定。

这可能不是OP所考虑的FIR滤波器，而是有一类称为截短IIR滤波器（TIIR）的FIR滤波器，它在单位圆上或单位圆外可能有一个极点，该极点在同一位置被零抵消。最简单的例子是移动总和或移动平均滤波器。但是，从I / O角度来看，这些TIIR滤波器是FIR。

但我不会天真地保证“稳定性”。使用控制系统语言，TIIR滤波器不是“完全可观察到的”，并且可能看起来稳定，因为它的脉冲响应在长度上是有限的，但是在滤波器内部，状态可能会陷入困境，并且数值精度有限，内部不稳定性最终将最终消失。出现在输出中。

我们必须摆脱“ FIR滤波器无极”的观念。不是真的

— 罗伯特·布里斯托·约翰逊
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您能否从数学上证明FIR滤波器有极点，因为我没有看到它。

— Jim Clay 2014年

带极点的FIR的最佳示例是级联集成梳状（CIC）滤波器。它从一个简单的移动平均滤波器（系数为1，1，1，1，1）开始，然后递归重写-从而引入极点。见链接。这些通常作为降频转换的第一步在FPGA上实现，因为它们以递归形式在计算上非常便宜。请参阅Graychip文档作为示例。它们通常在固定点实施以保持稳定性。

— 大卫

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我认为我们必须同意不同意-Hogenauer原始论文的摘要为“提出了用于抽取（采样率降低）和插值（采样率提高）的一类数字线性相位有限脉冲响应（FIR）滤波器”。

— 大卫

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CIC（即TIIR）不是一般的FIR。每阶FIR 在原点都有极点。这只是标准教科书的东西。易于证明（如下所述）。

N^{t h}

$N^{th}$

N

$N$

— 罗伯特·布里斯托

2

@ JimClay，CIC移动和或移动平均滤波器，无疑是FIR滤波器。它的IR为F。通常不会将其实现为横向FIR滤波器，但是如果您想用MIPS付费，肯定可以。

— 罗伯特·布里斯托

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“您能从数学上证明FIR滤波器具有极点，因为我没有看到它。” –吉姆·克莱

我们可以假设此FIR是因果关系吗？

$N$ $N+1$

有限冲激响应： $\quad h[n] = 0 \quad \forall \quad n>N, \ n<0$

FIR的传递函数：

\begin{aligned} H （ ž ） & = \sum_{ñ = - \infty}^{+ \infty} H [ñ] ž^{- ñ} \\ = \sum_{ñ = 0}^{ñ} H [ñ] ž^{- ñ} \\ = \sum_{ñ = 0}^{ñ} ž^{- ñ} H [ñ] ž^{ñ - ñ} \\ = ž^{- ñ} \sum_{ñ = 0}^{ñ} H [ñ - ñ] ž^{ñ} \\ = \frac{\sum_{ñ = 0}^{ñ} H [ñ - ñ] ž^{ñ}}{ž^{ñ}} \\ = \frac{H [ñ] + H [ñ - 1] ž + H [ñ - 2] ž^{2} + \dots + H [1] ž^{ñ - 1} + H [0] ž^{ñ}}{（ ž - 0 ）^{ñ}} \end{aligned}

$\begin{align} H(z) & = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} h[n] z^{-n} \\ & = \sum_{n=0}^{N} h[n] z^{-n} \\ & = \sum_{n=0}^{N} z^{-N} h[n] z^{N-n} \\ & = z^{-N} \sum_{n=0}^{N} h[N-n] z^n \\ & = \frac{\sum_{n=0}^{N} h[N-n] z^{n}}{z^N} \\ & = \frac{h[N] + h[N-1]z + h[N-2]z^2 + \cdots + h[1]z^{N-1} + h[0]z^N}{(z-0)^N} \\ \end{align}$

您要做的就是将分子乘以系数，然后您将知道零在哪里。但很明显，所有极点都用于FIR滤波器。极点与FIR滤波器的阶数一样多。请注意，这些极点不会影响频率响应。除了阶段。

— 罗伯特·布里斯托·约翰逊
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我站得住了。感谢您的解释。

— Jim Clay 2014年

1

实际上，按定义有点。由于您输入了有限的能量，并且滤波器将仅最大程度地提供能量输入的倍数（其脉冲响应具有有限的能量），因此生成的信号将最大程度地具有能量输入的倍数。它不会像IIR滤波器那样引起共振并因此升级。这也是Kenneides回答的背后。

— 用户名
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是的，这和肯尼德的回答一样虚假。

— 罗伯特·布里斯托

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H (z) = 1

$H(z)=1$

2

H (z) = 1 = \frac{z}{z}

$H(z) = 1 = \frac{z}{z}$

H (z) = z

$H(z)=z$

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H (z) = z^{- 1}

$H(z) = z^{-1}$

z = 0

$z=0$

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没有人真正触及到为何可拆卸FIR滤波器的极点，所以我尝试在下面回答。

FIR滤波器的原点将具有可移动的极点，因为其脉冲响应的有界性要求这样做。在极点附近，可以定义函数，使其仍然是全纯的（可在其域的每个点上微分）。

黎曼定理是，如果信号在其域的每个点（除了有限的多个点之外）都是微分的，则这些有界的函数周围就存在一个邻域。在该定理中有两种含义，因此，由于FIR滤波器需要具有有限的脉冲响应，因此脉冲响应在单位圆内的每个点上都必须是可微的。因此，可以以一致的方式扩展信号，以便不存在奇异点（即，极点是可移动的）。

$z$

— 汤姆·基利
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z

$z$

z

$z$

z

$z$

z^{- 1}

$z^{-1}$