实离散傅里叶变换

我试图理解真正的DFT和DFT以及为什么存在这种区别。

据我所知，到目前为止的DFT使用为基矢量和给出了表示总和由于历史原因，它是从到写入的，我认为与其以类似于傅立叶级数的方式写入，且总和从 $e^{i2\pi kn/N}$

x [n] = \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{i 2 π k n / N}

$x[n]=\sum_{k=0}^{N-1}X[k]e^{i2\pi kn/N}$

k = 0

$k=0$

N - 1

$N-1$

到

：

这依赖于特殊anomoly的DFT，其中的高的频率是相同的负频率：

k = - N / 2

$k=-N/2$

N / 2 - 1

$N/2-1$

x [n] = \sum_{k = - N / 2}^{N / 2 - 1} X [k] e^{i 2 π k n / N}

$x[n]=\sum_{k=-N/2}^{N/2-1}X[k]e^{i2\pi kn/N}$

。

e^{i 2 π k n / N} = e^{i 2 π (k - N) n / N}

$e^{i2\pi kn/N}=e^{i2\pi (k-N)n/N}$

继续与傅立叶系列类比实DFT给出了表示

x [n] = \sum_{k = 0}^{N / 2} (X_{R} [k] \cos (\frac{2 π k n}{N}) - X_{I} [k] \sin (\frac{2 π k n}{N}))

$x[n]=\sum_{k=0}^{N/2}\left(X_R[k]\cos\left(\frac{2\pi kn}{N}\right)-X_I[k]\sin\left(\frac{2\pi kn}{N}\right)\right)$

e^{i 2 π k n / N}

$e^{i2\pi kn/N}$

e^{- i 2 π k n / N}

$e^{-i2\pi kn/N}$

k = - N / 2

$k=-N/2$

N / 2 - 1

$N/2-1$

c_{n} e^{i n θ} + c_{- n} e^{- i n θ} = a_{n} \cos n θ + b_{n} \sin n θ

$c_n e^{in\theta}+c_{-n}e^{-in\theta}=a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta$

\sum_{- \infty}^{\infty} c_{n} e^{i n θ} = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{1}^{\infty} (a_{n} \cos n θ + b_{n} \sin n θ)

$\sum_{-\infty}^\infty c_n e^{in\theta}= \frac{a_0}{2} + \sum_1^{\infty}(a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta)$

我的问题那为什么DFT比真正的DFT如此普遍呢？人们会期望，由于真实的DFT使用真实的正弦和余弦作为基础，因此可以更好地表示几何图形，而人们会更喜欢它。我可以看到为什么在理论上首选DFT和连续傅立叶变换，因为指数的代数更简单。但是忽略实际的代数，从实际的计算应用角度来看，DFT为什么会更有用？为什么在复杂的物理，语音，图像等应用中，用复杂的指数表示信号比将信号分解为正弦和余弦更有用。另外，如果有什么微妙之处，我想知道：

dft

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N

$N$

x_{0}, x_{1}, \dots, x_{N - 1}

$x_0,x_1,\dots,x_{N-1}$

X_{0}, X_{1}, \dots, X_{N - 1}

$X_0,X_1,\dots,X_{N-1}$

X_{N - 1}, X_{N - 2}, \dots, X_{N / 2 + 1}

$X_{N-1},X_{N-2},\cdots,X_{N/2+1}$

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{N / 2 - 1}

$X_1,X_2,\dots,X_{N/2-1}$

顺便说一句：我强烈建议阅读有关真实傅里叶变换和Hartley变换的这两篇论文。他们很好地解释了DFT本身对这些方法的兴趣。

c_{n} e^{i n θ} + c_{- n} e^{- i n θ} = a_{n} \cos n θ + b_{n} \sin n θ

$c_n e^{in\theta}+c_{-n}e^{-in\theta}=a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta$

c_{n} e^{i n θ} + c_{- n} e^{- i n θ}

$c_n e^{in\theta}+c_{-n}e^{-in\theta}$

Van Loan中的一章详细介绍了您的问题。这假定您具有操纵Kronecker产品的一些技巧。

至少您应该比现在有更少的问题。

$A\exp(j\omega t)$ $H(\omega)A\exp(j\omega t)$ $A$ 同一组指数。此外，通过将旧权重乘以适当的数字来获得每个新权重。

$\cos(\omega t)$ $\sin(\omega t)$

\begin{aligned} \cos (ω t) & = \frac{\exp (j ω t) + \exp (- j ω t)}{2} \\ \sin (ω t) & = \frac{\exp (j ω t) - \exp (- j ω t)}{2 j} \end{aligned}

$\begin{align*} \cos(\omega t) &= \frac{\exp(j\omega t) + \exp(-j\omega t)}{2}\\ \sin(\omega t) &= \frac{\exp(j\omega t) - \exp(-j\omega t)}{2j} \end{align*}$

$\cos(\omega t)$ $B(\omega)\cos(\omega t) + C(\omega)\sin(\omega t)$ $\cos(\omega t)$ $B(\omega)\cos(\omega t) + C(\omega)\sin(\omega t)$ $\cos(\omega t)$ $B(\omega)\cos(\omega t) + C(\omega)\sin(\omega t)$ $\sin(\omega t)$

\cos (α + β) = \cos (α) \cos (β) - \sin (α) \sin (β)

$\cos (\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)$

但是，就像在现实生活中一样，您的里程可能会有所不同，并且如果您认为以罪恶/ cos表示形式是行之有效的，并且应该避免使用复杂的指数，那么您可以自由地跟随自己的内心。如果您很难将想法传达给同事，老板，客户或顾问，那将是他们的损失，而不是您的损失。

— 迪利普·萨瓦特（Dilip Sarwate）
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