二次多项式滤波器的设计有解析方法吗？

以下论文描述了Teager-Kaiser能量算子在X射线图像增强中的应用：

Reinhard Bernstein，Michael S. Moore和Sanjit K. Mitra，“用于图像增强的可调二次滤波器”， Proc。IEEE国际图像处理会议（ICIP），加利福尼亚州圣塔芭芭拉，第1卷。1，第287-290页，1997年10月。http： //vision.ece.ucsb.edu/publications/view_abstract.cgi？52

作者通过使用类似的线性算子进行类比，得出了滤波器行为的直觉（即“因此Teager滤波器的输出大约等于由本地平均值加权的高通滤波器响应”）。为了精确起见，我用二次多项式滤波器来表示非线性，非递归滤波器，这些滤波器可以完全由截短的Volterra级数来表征，如下所示（对于一维情况）：

ÿ （ ñ ） = \sum_{米_{1个} = 0}^{ñ_{1个} - 1个} H_{1个} （ 米_{1个} ） X （ ñ - 米_{1个} ） + \sum_{米_{1个} = 0}^{ñ_{2} - 1个} \sum_{米_{2} = 0}^{ñ_{2} - 1个} H_{2} （ 米_{1个} ， 米_{2} ） X （ ñ - 米_{1个} ） X （ ñ - 米_{2} ）

$y(n) = \sum_{m_1=0}^{N_1-1}{ h_1(m_1)x(n - m_1) } + \sum_{m_1=0}^{N_2-1}{\hphantom{.}\sum_{m_2=0}^{N_2-1}{ h_2(m_1,m_2)x(n - m_1)x(n - m_2) } }$

似乎大多数设计低阶多项式滤波器的方法都涉及系统识别框架，但对为什么估计的滤波器起作用没有任何深入的了解。目前基于线性类比的分析方法是否是最新技术，还是可以使用任何已知的数学工具？

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— datageist
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我以前曾经使用过Teager-Kaiser能源运营商。我知道这是放大从噪声数据中“拉出”短脉冲的极好方法（与中值滤波器相反）。它也可以使粉红色变成白色。对于纯音，其输出为常数（音的能量）。

— Spacey 2012年

@穆罕默德有趣。仅以它为例来说明问题，但不了解粉红到白色的属性。感谢那！

— datageist

如果您想尝试一下，这是我的Matlab实现。（dl.dropbox.com/u/4724281/TKEO.m）

— 斯派西

@datageist您是否曾经设法找到答案？您可以发布它吗？这是票数最高的未回答问题！=）

— 声子

@Phonon我曾经在某种程度上找到了部分答案，但这并不十分令人满意。不过，我会尽快写出来。

— datageist

并不是一个真正的答案（因此这是社区Wiki），但是我认为我们应该捕获@Mohammad的代码：

%Mohammad Z

%Teager-Kaiser Non-Linear Energy Operator. 
function [out] = TKEO(x)
    N = length(x);
    x = x(:).';
    temp = x(2:N-1).^2 - x(3:N).*x(1:N-2);
    out = [temp(1) temp temp(end)];    
end

— 彼得·K
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