Savitzky-Golay平滑滤波器，用于间隔不相等的数据

我有一个在100Hz下测量的信号，我需要对该信号应用Savitzky-Golay平滑滤波器。但是，仔细检查后，我的信号并不是以完全恒定的速率测量的，测量之间的差值介于9.7到10.3 ms之间。

有没有办法对不等距的数据使用Savitzky-Golay滤波器？还有其他可以应用的方法吗？

一种方法是对数据进行重新采样，以使其等距分布，然后您可以执行所需的任何处理。使用线性滤波的带限重采样将不是一个好的选择，因为数据不是均匀间隔的，因此您可以使用某种局部多项式插值（例如三次样条）来估计底层信号的值“精确”间隔为10毫秒。

由于Savitzky-Golay滤波器的导出方式（即作为局部最小二乘多项式拟合），非自然采样得到了自然的概括，这在计算上要昂贵得多。

一般的Savitzky-Golay滤波器

对于标准滤波器，其想法是将多项式拟合到局部样本集（使用最小二乘法），然后将中心样本替换为位于中心索引处（即0）的多项式值。这意味着可以通过对样本索引的范德蒙德矩阵求逆来生成标准SG滤波器系数。例如，要在五个样本（具有局部指数-2，-1,0,1,2）上生成局部抛物线拟合，设计等式A c = y的系统如下：$y_0\dots y_4$$Ac = y$

$$\begin{bmatrix}-2^0 & -2^1 & -2^2 \\ -1^0 & -1^1 & -1^2 \\ 0^0 & 0^1 & 0^2 \\ 1^0 & 1^1 & 1^2 \\ 2^0 & 2^1 & 2^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_0 \\ c_1 \\ c_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_0 \\ y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \end{bmatrix}.$$

在上面，是最小二乘多项式c 0 + c 1 x + c 2 x 2的未知系数。由于x = 0处的多项式的值仅为c 0，因此计算设计矩阵的伪逆（即c = （A T A ）− 1 A T y）将在顶部行产生SG滤波器系数。在这种情况下，$c_0 \dots c_2$$c_0 + c_1x + c_2x^2$$x = 0$$c_0$$c = (A^TA)^{-1}A^T y\space$

$$\begin{bmatrix}c_0 \\ c_1 \\ c_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & 12 & 17 & 12 & -3 \\ -7 & -4 & 0 & 4 & 7 \\ 5 & -3 & -5 & -3 & 5 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_0 \\ y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \end{bmatrix}.$$

请注意，由于是c 1 + 2 c 2 x，矩阵的第二行（计算c 1）将是平滑的导数滤波器。相同的论点适用于连续的行-它们给出平滑的高阶导数。请注意，我将矩阵缩放了35，因此第一行将与Wikipedia（上）上给出的平滑系数匹配。导数滤波器各自因其他比例因子而不同。$c_0 + c_1x + c_2x^2$$c_1 + 2c_2x$$c_1$

非均匀采样

当样本均匀分布时，滤波器系数是平移不变的，因此结果只是一个FIR滤波器。对于非均匀样本，系数将基于局部样本间距而有所不同，因此将需要构造设计矩阵并在每个样本处对其进行求逆。如果非均匀采样时间为，则构造局部坐标t n，每个中心采样时间固定为0，即$x_n$$t_n$$0$

$$\begin{align} t_{-2} & = x_{-2} - x_0 \\ t_{-1} & = x_{-1} - x_0 \\ t_0 & = x_0 - x_0 \\ t_1 & = x_1 - x_0 \\ t_2 & = x_2 - x_0 \end{align}$$

那么每个设计矩阵将具有以下形式：

$$A = \begin{bmatrix} t_{-2}^0 & t_{-2}^1 & t_{-2}^2 \\ t_{-1}^0 & t_{-1}^1 & t_{-1}^2 \\ t_0^0 & t_0^1 & t_0^2 \\ t_1^0 & t_1^1 & t_1^2 \\ t_2^0 & t_2^1 & t_2^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & t_{-2} & t_{-2}^2 \\ 1 & t_{-1} & t_{-1}^2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & t_1 & t_1^2 \\ 1 & t_2 & t_2^2 \end{bmatrix}.$$

$A$ $c_0$

$f$$N$$\sqrt{N/2}$
$\qquad -$

（派生任何人？）

$\pm N/2$$t$$t$
$t_i \to i$

我发现，在Matlab中有两种使用savitzky-golay算法的方法。一次作为过滤器，一次作为平滑函数，但基本上它们应该做同样的事情。

1. yy = sgolayfilt（y，k，f）：在这里，值y = y（x）假定在x中等距。
2. yy = smooth（x，y，span，'sgolay'，degree）：在这里，您可以将x作为额外的输入，并参考Matlab帮助x不必等距分布！

如果有帮助，我对datageist描述的方法进行了C实现。免费使用，后果自负。

/**
 * @brief smooth_nonuniform
 * Implements the method described in  /signals/1676/savitzky-golay-smoothing-filter-for-not-equally-spaced-data
 * free to use at the user's risk
 * @param n the half size of the smoothing sample, e.g. n=2 for smoothing over 5 points
 * @param the degree of the local polynomial fit, e.g. deg=2 for a parabolic fit
 */
bool smooth_nonuniform(uint deg, uint n, std::vector<double>const &x, std::vector<double> const &y, std::vector<double>&ysm)
{
    if(x.size()!=y.size()) return false; // don't even try
    if(x.size()<=2*n)      return false; // not enough data to start the smoothing process
//    if(2*n+1<=deg+1)       return false; // need at least deg+1 points to make the polynomial

    int m = 2*n+1; // the size of the filter window
    int o = deg+1; // the smoothing order

    std::vector<double> A(m*o);         memset(A.data(),   0, m*o*sizeof(double));
    std::vector<double> tA(m*o);        memset(tA.data(),  0, m*o*sizeof(double));
    std::vector<double> tAA(o*o);       memset(tAA.data(), 0, o*o*sizeof(double));

    std::vector<double> t(m);           memset(t.data(),   0, m*  sizeof(double));
    std::vector<double> c(o);           memset(c.data(),   0, o*  sizeof(double));

    // do not smooth start and end data
    int sz = y.size();
    ysm.resize(sz);           memset(ysm.data(), 0,sz*sizeof(double));
    for(uint i=0; i<n; i++)
    {
        ysm[i]=y[i];
        ysm[sz-i-1] = y[sz-i-1];
    }

    // start smoothing
    for(uint i=n; i<x.size()-n; i++)
    {
        // make A and tA
        for(int j=0; j<m; j++)
        {
            t[j] = x[i+j-n] - x[i];
        }
        for(int j=0; j<m; j++)
        {
            double r = 1.0;
            for(int k=0; k<o; k++)
            {
                A[j*o+k] = r;
                tA[k*m+j] = r;
                r *= t[j];
            }
        }

        // make tA.A
        matMult(tA.data(), A.data(), tAA.data(), o, m, o);

        // make (tA.A)-¹ in place
        if (o==3)
        {
            if(!invert33(tAA.data())) return false;
        }
        else if(o==4)
        {
            if(!invert44(tAA.data())) return false;
        }
        else
        {
            if(!inverseMatrixLapack(o, tAA.data())) return false;
        }

        // make (tA.A)-¹.tA
        matMult(tAA.data(), tA.data(), A.data(), o, o, m); // re-uses memory allocated for matrix A

        // compute the polynomial's value at the center of the sample
        ysm[i] = 0.0;
        for(int j=0; j<m; j++)
        {
            ysm[i] += A[j]*y[i+j-n];
        }
    }

    std::cout << "      x       y       y_smoothed" << std::endl;
    for(uint i=0; i<x.size(); i++) std::cout << "   " << x[i] << "   " << y[i]  << "   "<< ysm[i] << std::endl;

    return true;
}