计算平方根时存在哪些近似技术？

12

使用微控制器时，我的资源非常有限。是否有taylor系列扩展，通用查找表或递归方法？

我宁愿做一些不使用math.h的sqrt（）

http://www.cplusplus.com/reference/cmath/sqrt/

algorithms c numerical-algorithms

— 塔拉字节
source

5

看看这个链接：codeproject.com/Articles/69941/...

— 马特L.

1

除了更多的编程问题外，为什么不回答它呢？

— jojek

浮点还是定点输入？对于定点，迭代方法可能更可取，但除非您确实需要，否则我不会花时间解释它。

— 奥斯卡

@Oscar，我很想学习定点方法，因为我尝试不要求在固件中使用浮点数:)。

— tarabyte

13

如果您想要便宜又便宜的优化幂级数展开（泰勒级数的系数收敛缓慢）sqrt()以及其他一系列超越条件，我早就有了一些代码。我曾经出售过此代码，但近十年来没有人为此付钱。所以我想我将其发布以供公众使用。这特定的文件是为其中所述处理器已经浮点（IEEE-754单精度）的应用程序，他们有一个C编译器和DEV系统，但他们并没有具有（或他们不想链接）具有标准数学功能的stdlib。他们不需要完美的精度，但他们希望事情快。您可以轻松地对代码进行反向工程以查看幂级数系数，然后编写自己的代码。此代码假定采用IEEE-754，并且屏蔽了尾数和指数位。

看来，SE拥有的“代码标记”对角字符（您知道“>”或“ <”）不友好，因此您可能必须单击“编辑”才能看到所有内容。

//
//    FILE: __functions.h
//
//    fast and approximate transcendental functions
//
//    copyright (c) 2004  Robert Bristow-Johnson
//
//    rbj@audioimagination.com
//


#ifndef __FUNCTIONS_H
#define __FUNCTIONS_H

#define TINY 1.0e-8
#define HUGE 1.0e8

#define PI              (3.1415926535897932384626433832795028841972)        /* pi */
#define ONE_OVER_PI     (0.3183098861837906661338147750939)
#define TWOPI           (6.2831853071795864769252867665590057683943)        /* 2*pi */
#define ONE_OVER_TWOPI  (0.15915494309189535682609381638)
#define PI_2            (1.5707963267948966192313216916397514420986)        /* pi/2 */
#define TWO_OVER_PI     (0.636619772367581332267629550188)
#define LN2             (0.6931471805599453094172321214581765680755)        /* ln(2) */
#define ONE_OVER_LN2    (1.44269504088896333066907387547)
#define LN10            (2.3025850929940456840179914546843642076011)        /* ln(10) */
#define ONE_OVER_LN10   (0.43429448190325177635683940025)
#define ROOT2           (1.4142135623730950488016887242096980785697)        /* sqrt(2) */
#define ONE_OVER_ROOT2  (0.707106781186547438494264988549)

#define DB_LOG2_ENERGY          (3.01029995663981154631945610163)           /* dB = DB_LOG2_ENERGY*__log2(energy) */
#define DB_LOG2_AMPL            (6.02059991327962309263891220326)           /* dB = DB_LOG2_AMPL*__log2(amplitude) */
#define ONE_OVER_DB_LOG2_AMPL   (0.16609640474436811218256075335)           /* amplitude = __exp2(ONE_OVER_DB_LOG2_AMPL*dB) */

#define LONG_OFFSET     4096L
#define FLOAT_OFFSET    4096.0



float   __sqrt(float x);

float   __log2(float x);
float   __exp2(float x);

float   __log(float x);
float   __exp(float x);

float   __pow(float x, float y);

float   __sin_pi(float x);
float   __cos_pi(float x);

float   __sin(float x);
float   __cos(float x);
float   __tan(float x);

float   __atan(float x);
float   __asin(float x);
float   __acos(float x);

float   __arg(float Imag, float Real);

float   __poly(float *a, int order, float x);
float   __map(float *f, float scaler, float x);
float   __discreteMap(float *f, float scaler, float x);

unsigned long __random();

#endif




//
//    FILE: __functions.c
//
//    fast and approximate transcendental functions
//
//    copyright (c) 2004  Robert Bristow-Johnson
//
//    rbj@audioimagination.com
//

#define STD_MATH_LIB 0

#include "__functions.h"

#if STD_MATH_LIB
#include "math.h"   // angle brackets don't work with SE markup
#endif




float   __sqrt(register float x)
    {
#if STD_MATH_LIB
    return (float) sqrt((double)x);
#else
    if (x > 5.877471754e-39)
        {
        register float accumulator, xPower;
        register long intPart;
        register union {float f; long i;} xBits;

        xBits.f = x;

        intPart = ((xBits.i)>>23);                  /* get biased exponent */
        intPart -= 127;                             /* unbias it */

        x = (float)(xBits.i & 0x007FFFFF);          /* mask off exponent leaving 0x800000*(mantissa - 1) */
        x *= 1.192092895507812e-07;                 /* divide by 0x800000 */

        accumulator =  1.0 + 0.49959804148061*x;
        xPower = x*x;
        accumulator += -0.12047308243453*xPower;
        xPower *= x;
        accumulator += 0.04585425015501*xPower;
        xPower *= x;
        accumulator += -0.01076564682800*xPower;

        if (intPart & 0x00000001)
            {
            accumulator *= ROOT2;                   /* an odd input exponent means an extra sqrt(2) in the output */
            }

        xBits.i = intPart >> 1;                     /* divide exponent by 2, lose LSB */
        xBits.i += 127;                             /* rebias exponent */
        xBits.i <<= 23;                             /* move biased exponent into exponent bits */

        return accumulator * xBits.f;
        }
     else
        {
        return 0.0;
        }
#endif
    }




float   __log2(register float x)
    {
#if STD_MATH_LIB
    return (float) (ONE_OVER_LN2*log((double)x));
#else
    if (x > 5.877471754e-39)
        {
        register float accumulator, xPower;
        register long intPart;

        register union {float f; long i;} xBits;

        xBits.f = x;

        intPart = ((xBits.i)>>23);                  /* get biased exponent */
        intPart -= 127;                             /* unbias it */

        x = (float)(xBits.i & 0x007FFFFF);          /* mask off exponent leaving 0x800000*(mantissa - 1) */
        x *= 1.192092895507812e-07;                 /* divide by 0x800000 */

        accumulator = 1.44254494359510*x;
        xPower = x*x;
        accumulator += -0.71814525675041*xPower;
        xPower *= x;
        accumulator += 0.45754919692582*xPower;
        xPower *= x;
        accumulator += -0.27790534462866*xPower;
        xPower *= x;
        accumulator += 0.12179791068782*xPower;
        xPower *= x;
        accumulator += -0.02584144982967*xPower;

        return accumulator + (float)intPart;
        }
     else
        {
        return -HUGE;
        }
#endif
    }


float   __exp2(register float x)
    {
#if STD_MATH_LIB
    return (float) exp(LN2*(double)x);
#else
    if (x >= -127.0)
        {
        register float accumulator, xPower;
        register union {float f; long i;} xBits;

        xBits.i = (long)(x + FLOAT_OFFSET) - LONG_OFFSET;       /* integer part */
        x -= (float)(xBits.i);                                  /* fractional part */

        accumulator = 1.0 + 0.69303212081966*x;
        xPower = x*x;
        accumulator += 0.24137976293709*xPower;
        xPower *= x;
        accumulator += 0.05203236900844*xPower;
        xPower *= x;
        accumulator += 0.01355574723481*xPower;

        xBits.i += 127;                                         /* bias integer part */
        xBits.i <<= 23;                                         /* move biased int part into exponent bits */

        return accumulator * xBits.f;
        }
     else
        {
        return 0.0;
        }
#endif
    }


float   __log(register float x)
    {
#if STD_MATH_LIB
    return (float) log((double)x);
#else
    return LN2*__log2(x);
#endif
    }

float   __exp(register float x)
    {
#if STD_MATH_LIB
    return (float) exp((double)x);
#else
    return __exp2(ONE_OVER_LN2*x);
#endif
    }

float   __pow(float x, float y)
    {
#if STD_MATH_LIB
    return (float) pow((double)x, (double)y);
#else
    return __exp2(y*__log2(x));
#endif
    }




float   __sin_pi(register float x)
    {
#if STD_MATH_LIB
    return (float) sin(PI*(double)x);
#else
    register float accumulator, xPower, xSquared;

    register long evenIntPart = ((long)(0.5*x + 1024.5) - 1024)<<1;
    x -= (float)evenIntPart;

    xSquared = x*x;
    accumulator = 3.14159265358979*x;
    xPower = xSquared*x;
    accumulator += -5.16731953364340*xPower;
    xPower *= xSquared;
    accumulator += 2.54620566822659*xPower;
    xPower *= xSquared;
    accumulator += -0.586027023087261*xPower;
    xPower *= xSquared;
    accumulator += 0.06554823491427*xPower;

    return accumulator;
#endif
    }


float   __cos_pi(register float x)
    {
#if STD_MATH_LIB
    return (float) cos(PI*(double)x);
#else
    register float accumulator, xPower, xSquared;

    register long evenIntPart = ((long)(0.5*x + 1024.5) - 1024)<<1;
    x -= (float)evenIntPart;

    xSquared = x*x;
    accumulator = 1.57079632679490*x;                       /* series for sin(PI/2*x) */
    xPower = xSquared*x;
    accumulator += -0.64596406188166*xPower;
    xPower *= xSquared;
    accumulator += 0.07969158490912*xPower;
    xPower *= xSquared;
    accumulator += -0.00467687997706*xPower;
    xPower *= xSquared;
    accumulator += 0.00015303015470*xPower;

    return 1.0 - 2.0*accumulator*accumulator;               /* cos(w) = 1 - 2*(sin(w/2))^2 */
#endif
    }


float   __sin(register float x)
    {
#if STD_MATH_LIB
    return (float) sin((double)x);
#else
    x *= ONE_OVER_PI;
    return __sin_pi(x);
#endif
    }

float   __cos(register float x)
    {
#if STD_MATH_LIB
    return (float) cos((double)x);
#else
    x *= ONE_OVER_PI;
    return __cos_pi(x);
#endif
    }

float   __tan(register float x)
    {
#if STD_MATH_LIB
    return (float) tan((double)x);
#else
    x *= ONE_OVER_PI;
    return __sin_pi(x)/__cos_pi(x);
#endif
    }




float   __atan(register float x)
    {
#if STD_MATH_LIB
    return (float) atan((double)x);
#else
    register float accumulator, xPower, xSquared, offset;

    offset = 0.0;

    if (x < -1.0)
        {
        offset = -PI_2;
        x = -1.0/x;
        }
     else if (x > 1.0)
        {
        offset = PI_2;
        x = -1.0/x;
        }
    xSquared = x*x;
    accumulator = 1.0;
    xPower = xSquared;
    accumulator += 0.33288950512027*xPower;
    xPower *= xSquared;
    accumulator += -0.08467922817644*xPower;
    xPower *= xSquared;
    accumulator += 0.03252232640125*xPower;
    xPower *= xSquared;
    accumulator += -0.00749305860992*xPower;

    return offset + x/accumulator;
#endif
    }


float   __asin(register float x)
    {
#if STD_MATH_LIB
    return (float) asin((double)x);
#else
    return __atan(x/__sqrt(1.0 - x*x));
#endif
    }

float   __acos(register float x)
    {
#if STD_MATH_LIB
    return (float) acos((double)x);
#else
    return __atan(__sqrt(1.0 - x*x)/x);
#endif
    }


float   __arg(float Imag, float Real)
    {
#if STD_MATH_LIB
    return (float) atan2((double)Imag, (double)Real);
#else
    register float accumulator, xPower, xSquared, offset, x;

    if (Imag > 0.0)
        {
        if (Imag <= -Real)
            {
            offset = PI;
            x = Imag/Real;
            }
         else if (Imag > Real)
            {
            offset = PI_2;
            x = -Real/Imag;
            }
         else
            {
            offset = 0.0;
            x = Imag/Real;
            }
        }
     else
        {
        if (Imag >= Real)
            {
            offset = -PI;
            x = Imag/Real;
            }
         else if (Imag < -Real)
            {
            offset = -PI_2;
            x = -Real/Imag;
            }
         else
            {
            offset = 0.0;
            x = Imag/Real;
            }
        }

    xSquared = x*x;
    accumulator = 1.0;
    xPower = xSquared;
    accumulator += 0.33288950512027*xPower;
    xPower *= xSquared;
    accumulator += -0.08467922817644*xPower;
    xPower *= xSquared;
    accumulator += 0.03252232640125*xPower;
    xPower *= xSquared;
    accumulator += -0.00749305860992*xPower;

    return offset + x/accumulator;
#endif
    }




float   __poly(float *a, int order, float x)
    {
    register float accumulator = 0.0, xPower;
    register int n;

    accumulator = a[0];
    xPower = x;
    for (n=1; n<=order; n++)
        {
        accumulator += a[n]*xPower;
        xPower *= x;
        }

    return accumulator;
    }


float   __map(float *f, float scaler, float x)
    {
    register long i;

    x *= scaler;

    i = (long)(x + FLOAT_OFFSET) - LONG_OFFSET;         /* round down without floor() */

    return f[i] + (f[i+1] - f[i])*(x - (float)i);       /* linear interpolate between points */
    }


float   __discreteMap(float *f, float scaler, float x)
    {
    register long i;

    x *= scaler;

    i = (long)(x + (FLOAT_OFFSET+0.5)) - LONG_OFFSET;   /* round to nearest */

    return f[i];
    }


unsigned long __random()
    {
    static unsigned long seed0 = 0x5B7A2775, seed1 = 0x80C7169F;

    seed0 += seed1;
    seed1 += seed0;

    return seed1;
    }

— 罗伯特·布里斯托·约翰逊
source

有谁知道此代码标记如何与SE一起使用？如果您单击“编辑”，则可以看到我想要的代码，但是我们在这里看到的代码省略了很多行，而不仅仅是在文件末尾。我使用的是SE标记帮助所指向的标记参考。如果有人可以解决，请编辑答案并告诉我们您做了什么。

— 罗伯特·布里斯托

我不知道那是@Royi。

— 罗伯特·布里斯托

pastebin.com/U4ZYsHip

— 罗伊

所以@Royi，将代码发布到该pastebin位置对我来说很好。如果需要，您还可以发布此代码，将二进制转换为十进制测试，并将十进制文本转换为binary。它被用于我们不想要的嵌入式项目中stdlib。

— 罗伯特·布里斯托

7

如果您还没有看到它，那么“雷神平方根”简直就是神秘。它使用一些位级魔术来给您一个很好的第一近似值，然后使用牛顿近似值的一或两轮进行修正。如果您使用有限的资源，可能会有所帮助。

https://zh.wikipedia.org/wiki/Fast_inverse_square_root

http://betterexplained.com/articles/understanding-quakes-fast-inverse-square-root/

— 亚当·史密斯
source

6

您还可以使用牛顿法近似平方根函数。牛顿法是一种近似函数根的位置的方法。这也是一种迭代方法，其中前一次迭代的结果将在下一次迭代中使用，直到收敛为止。给定初始猜测，牛顿方法猜测函数的根在哪里的方程式定义为： $f(x)$ $x_0$

x_{1} = x_{0} - \frac{f (x_{0})}{f^{'} (x_{0})}

$x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$

$x_1$ 是对根位置的第一个猜测。我们一直在循环方程式，并使用以前迭代的结果，直到答案不变。通常，为了确定在次迭代中对根的猜测，给定在次迭代中的猜测定义为： $(n+1)$ $n$

x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f (x_{n})}{f^{'} (x_{n})}

$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

要使用牛顿法对平方根进行近似，假设给定一个数字。因此，要计算平方根，我们需要计算因此，我们试图找到一个答案，使。将两边都平方，然后将移到方程的另一边，得出。因此，该方程的答案为，因此是函数的根。这样，令是我们要查找其根的方程。通过将其代入牛顿方法，，因此： $a$ $\sqrt{a}$ $x = \sqrt{a}$ $a$ $x^2 - a = 0$ $\sqrt{a}$ $f(x) = x^2 - a$ $f'(x) = 2x$

x_{n + 1} = x_{n} - \frac{x_{n}^{2} - a}{2 x_{n}}

$x_{n+1} = x_n - \frac{x_{n}^2 - a}{2x_{n}}$

x_{n + 1} = \frac{1}{2} (x_{n} + \frac{a}{x_{n}})

$x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{a}{x_n}\right)$

因此，计算的平方根，我们只需要计算牛顿法，直到我们收敛。但是，正如@ robertbristow-johnson指出的那样，除法操作非常昂贵-尤其是对于资源有限的微控制器/ DSP。另外，可能存在猜测可能为0的情况，这将由于除法运算而导致除以0的错误。这样，我们可以做的是使用牛顿方法并求解倒数函数，即。这也避免了任何分裂，我们将在后面看到。将双方平方，然后将移动到左侧，则得到。因此，解决方案是 $a$ $\frac{1}{x} = \sqrt{a}$ $\sqrt{a}$ $\frac{1}{x^2} - a = 0$ $\frac{1}{\sqrt{a}}$ 。通过乘以，我们会得到我们想要的结果。同样，使用牛顿法，我们得到： $a$

x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f (x_{n})}{f^{'} (x_{n})}

$x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

x_{n + 1} = x_{n} - \frac{\frac{1}{(x_{n})^{2}} - a}{\frac{- 2}{(x_{n})^{3}}}

$x_{n+1} = x_{n} - \frac{\frac{1}{(x_n)^2} - a}{\frac{-2}{(x_n)^3}}$

x_{n + 1} = \frac{1}{2} (3 x_{n} - (x_{n})^{3} a)

$x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(3x_n - (x_n)^3a\right)$

但是，在查看上述方程式时，有警告我们应考虑。对于平方根，解决方案应为正，因此为了使迭代（和结果）为正，必须满足以下条件：

3 x_{n} - (x_{n})^{3} a > 0

$3x_n - (x_n)^3a > 0$

3 x_{n} > (x_{n})^{3} a

$3x_n > (x_n)^3a$

(x_{n})^{2} a < 3

$(x_n)^2a < 3$

因此：

(x_{0})^{2} a < 3

$(x_0)^2a < 3$

因此，给定我们希望计算其平方根的数字，初始猜测必须满足上述条件。由于这将最终放置在微控制器上，因此我们可以从任何值开始（例如1），然后继续循环并减小的值，直到满足上述条件。请注意，我避免进行除法运算以直接计算的值 $x_0$ $x_0$ $x_0$ 应该因为分裂是一项昂贵的操作。一旦有了初步的猜测，就可以遍历牛顿的方法。请注意，根据最初的猜测，收敛可能会花费更短或更长时间。这完全取决于您与实际答案的距离。您可以限制迭代次数，也可以等待直到两个根之间的相对差小于某个阈值（例如左右）。 $10^{-6}$

当您的标记正在中寻找一种算法时C，让我们快速编写一个：

#include <stdio.h> // For printf
#include <math.h> // For fabs
void main() 
{
   float a = 5.0; // Number we want to take the square root of
   float x = 1.0; // Initial guess
   float xprev; // Root for previous iteration
   int count; // Counter for iterations

   // Find a better initial guess
   // Half at each step until condition is satisfied
   while (x*x*a >= 3.0)
       x *= 0.5;

   printf("Initial guess: %f\n", x);

   count = 1; 
   do { 
       xprev = x; // Save for previous iteration
       printf("Iteration #%d: %f\n", count++, x);                   
       x = 0.5*(3*xprev - (xprev*xprev*xprev)*a); // Find square root of the reciprocal
   } while (fabs(x - xprev) > 1e-6); 

   x *= a; // Actual answer - Multiply by a
   printf("Square root is: %f\n", x);
   printf("Done!");
}

这是牛顿方法的非常基本的实现。请注意，在满足我们之前讨论的条件之前，我一直将初始猜测降低一半。我还试图找到5的平方根。我们知道这大约等于2.236左右。使用上面的代码将给出以下输出：

Initial guess: 0.500000
Iteration #1: 0.500000
Iteration #2: 0.437500
Iteration #3: 0.446899
Iteration #4: 0.447213
Square root is: 2.236068
Done!

请注意，牛顿法正在寻找倒数解的解，我们在末尾乘以得到最终答案。另外，请注意，最初的猜测已更改，以确保满足上述条件。只是为了好玩，让我们尝试找到9876的平方根。 $a$

Initial guess: 0.015625
Iteration #1: 0.015625
Iteration #2: 0.004601
Iteration #3: 0.006420
Iteration #4: 0.008323
Iteration #5: 0.009638
Iteration #6: 0.010036
Iteration #7: 0.010062
Square root is: 99.378067
Done!

如您所见，唯一不同的是计算平方根需要多少次迭代。您要计算的数量越多，迭代次数就越多。

我知道该方法已经在较早的文章中提出，但是我认为我会派生该方法并提供一些代码！

— rayryeng-恢复莫妮卡
source

2

ray，我是否可以建议您将目标函数设为。迭代中不需要除法，您要做的就是将结果与相乘得到。这就是为什么您在光照和实际实现中看到关于倒数平方根的所有这些东西的原因。

f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$

x

$x$

\sqrt{x}

$\sqrt{x}$

— 罗伯特·布里斯托

3

只是，对于编码DSP和其他一些芯片的人们来说，这种划分特别昂贵，而这些芯片可以将数字相乘的速度与移动数字的速度一样快。

— 罗伯特·布里斯托

1

@ robertbristow-johnson-还有一个很好的观点。我记得当我与Motorola 6811一起工作时，乘法用了几个周期，而除法则用了几百个周期。不好看

— rayryeng-恢复莫妮卡2014年

3

嗯，很好的68HC11。有6809的一些东西（例如快速乘法），但更多的是微控制器。

— 罗伯特·布里斯托

1

@ robertbristow-johnson-是的先生68HC11 :)。我用它创建了一个生物医学信号生成系统，该系统创建了人工心脏信号以校准医疗设备并培训医学生。已有很长时间了，但非常美好的回忆！

— rayryeng-恢复莫妮卡2014年

6

$\sqrt{x}$

是的，幂级数只能在有限域内快速而有效地近似平方根函数。域越广，在幂级数中所需的项越多，以使误差足够小。

$1 \le x \le 2$

\begin{aligned} \sqrt{x} & \approx 1 + a_{1} (x - 1) + a_{2} (x - 1)^{2} + a_{3} (x - 1)^{3} + a_{4} (x - 1)^{4} \\ = 1 + (x - 1) (a_{1} + (x - 1) (a_{2} + (x - 1) (a_{3} + (x - 1) a_{4}))) \end{aligned}

$\begin{align} \sqrt{x} \ &\approx \ 1 + a_1 (x-1) + a_2 (x-1)^2 + a_3 (x-1)^3 + a_4 (x-1)^4 \\ \\ & = 1 + (x-1)\bigg( a_1 + (x-1)\Big( a_2 + (x-1)\big( a_3 + (x-1)a_4 \big) \Big) \bigg) \\ \end{align}$

哪里

$a_1$

$a_2$

$a_3$

$a_4$

$x=1$ $x=2$

$2n$ $n$ $\sqrt{2}$

如果是浮点，则需要像其他答案中的C代码一样将指数和尾数分开。

— 罗伯特·布里斯托·约翰逊
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4

实际上，这是通过使用牛顿法求解二次方程来完成的：

http://en.wikipedia.org/wiki/Methods_of_computing_square_roots

对于大于1的数字，可以使用以下泰勒展开式：

http://planetmath.org/taylorexpansionofsqrt1x

— 罗依
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3

$a>b$

\sqrt{a^{2} + b^{2}} \approx 0.96 a + 0.4 b .

$\sqrt{a^2+b^2}\approx 0.96a+0.4 b.$

如果我没记错的话，精度在4％以内。它被工程师使用，而不是对数标尺和计算器。我是在1923年于德拉哈珀（De Laharpe）的Notes and formules de l'ingénieur中学习到的

— 劳伦·杜瓦尔（Laurent Duval）
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