了解多速率过滤基础

我在掌握多速率过滤的一些基本概念时遇到了麻烦。我从各种来源看到，多速率滤波器的基本构建块是二元分析和综合块。

• 问题1：

  分析块结构如下所示，其中宽带信号分为低通和高通频带，每个频带的截止频率均为FS / 4（Nyquist / 2）。然后，将每个频带抽取2倍。

  

  当它包含高于新抽取采样率的奈奎斯特极限的频率信息时，如何准确地在高频带中表示信号？

• 问题2：

  分析块的结构如下所示，其中对子带信号进行插值，重新滤波然后求和。

  

  第二次过滤的目的是什么？

我将首先回答问题2，并希望这将有助于解释问题1的情况。

当您对基带信号进行采样时，在采样频率的所有整数倍处都有基带信号的隐式别名，如下图所示。 实心图像是原始基带信号，并且别名由虚线图像表示。我选择了一个非对称（即复数）信号来帮助演示在采样频率的奇数倍处发生的反转。

您可能会问：“别名确实存在吗？” 这是一个哲学问题。是的，在数学上它们确实存在，因为所有别名（包括基带信号）彼此之间是无法区分的。

通过在原始样本之间插入零来进行升采样时，实际上是通过升采样率来提高采样率。因此，如果您以2的倍数上采样（在每个样本之间放一个零），则将采样率和奈奎斯特速率提高2倍，结果如下图所示。

如您所见，先前映像中的隐式别名之一现已变为显式。如果对样本进行FFT，它将显示出来。下面给出了DFT变换不会从根本上改变的非严格证据。

现在，您已经有了两个显式别名，如果您只想要基带别名，则必须通过低通滤波器来摆脱另一个别名。但是，有时人们会使用其他别名为他们进行调制。在这种情况下，您将使用高通滤波器来去除基带信号。我希望能回答问题2。

问题1基本上是问题2的反面。假设您已经处于第二张图片所示的情况。有两种获取所需基带信号的方法。第一种方法是低通滤波器（从而摆脱较高的别名），然后以两倍的系数进行抽取。这使您了解图片＃1。

第二种方法是对高通滤波器进行滤波（摆脱基带别名），然后将其抽取两倍。之所以起作用，是因为您有意将信号混叠到基带中，从而再次使您获得图像＃1。

你为什么要那样做？因为在大多数情况下信号不会相同，所以您可以选择所需的信号，也可以分别进行选择。

如果您正在研究多速率处理，我强烈建议您获得Frederic Harris的“通信系统的多速率信号处理”。他在不忽略数学的情况下很好地解释了理论，并给出了许多实用建议。

编辑：故意以小于奈奎斯特速率的频率对信号采样称为欠采样。以下是我的尝试，以数学方式解释了为什么在上采样时FFT不会改变。“ x [n]”是样本的原始集合，“ u”是上采样因子，“ x'[n]”是样本的上采样集合。

$$\begin{eqnarray*} X[k] &=& \sum_{n=0}^{N-1} x[n]e^{-i2\pi kn/N}\\ X'[k] &=& \sum_{n=0}^{uN-1} x'[n]e^{-i2\pi kn/uN} , \{ &x&'[n] = 0, n \neq mu, m \in (0..N-1)\\ &x&'[n] = x[n/u], n = mu\\ &=& \sum_{n=0}^{N-1} x'[un]e^{-i2\pi kun/uN}\\ &=& \sum_{n=0}^{N-1} x[n]e^{-i2\pi kn/N}\\ &=&X[k] \end{eqnarray*}$$

抱歉，格式不正确。我是LaTex新手。

编辑2：我应该指出x [n]和x'[n]的DFT并不完全相同。采样率较高，正如我在回答的较早部分所解释的那样，它会使别名“暴露”。我试图以非数学家的方式指出，除采样率外，DFT是相同的。