使用统一随机变量实现高斯随机变量

我正在尝试编写一个C ++函数，该函数将根据给定的均值和方差返回高斯随机值。

有一个库函数rand()，该函数返回0和之间的随机数RAND_MAX。RAND_MAX没有固定的值，但可以保证至少为。其PDF是统一的。 $2^{15}-1$

我正在使用中央极限定理将其转换rand()为高斯变量。我正在做的是调用rand()用户指定的时间，然后将其返回值加起来，然后将其均值转换为用户指定的均值。

高斯PDF
在上面的图中，我将高斯随机生成器调用了次，并绘制了其返回值的频率。如您所见，它的方差很大，因为它是由许多其他随机值的总和创建的。 $10^7$

它成功返回具有高斯PDF和指定平均值的高斯变量。但是，问题在于其差异。我被困在这一点上，因为我不知道如何将其方差更改为用户指定的值。

这是我的代码（暂时不完整；参数“方差”被忽略）：

template <class T>
T Random::GetGaussian(T Mean /*= 0*/, T Variance /*= 1*/)
{
    T MeanOfSum = NUM_GAUSSIAN_SUMS / static_cast<T>(2);
    T Rand = 0;
    for (uint64_t i=0; i<NUM_GAUSSIAN_SUMS; i++)
    {
        Rand += static_cast<T>(rand()) / RAND_MAX;
    }
    return Rand - (MeanOfSum - Mean);
}

假定NUM_GAUSSIAN_SUMS是100，并且RAND_MAX是32767。

我想根据函数的参数更改随机变量的方差。我的问题是，如何更改此随机变量的方差？我该怎么做？

random

— hkBattousai
source

有比中心极限定理更好和更快的方法来生成高斯随机变量。搜索Box-Muller方法之一；之字形方法据说更好。

— Dilip Sarwate 2012年

stackoverflow.com/questions/7034930/...

— nibot

在较早的时候，执行时间是一个重要的考虑因素，人们会求和随机变量（而不是），然后减去以得到对标准随机变量的简单近似，然后进行缩放以获得随机变量。（有关为何起作用的信息，请参见@Hilmar的答案）。对于许多应用程序而言，此简单方法效果很好，但是将值限制在范围内，当Six-Sigma成为流行语时，这个简单的想法被抛在了一边。

12

$12$

U (0, 1)

$U(0,1)$

100

$100$

6

$6$

N (0, 1)

$N(0,1)$

Y = σ X + μ

$Y = \sigma X+\mu$

N (μ, σ^{2})

$N(\mu,\sigma^2)$

(μ - 6 σ, μ + 6 σ)

$(\mu-6\sigma, \mu+6\sigma)$

— Dilip Sarwate 2012年

@DilipSarwate也许您应该发布这些替代方案作为答案，并说明我们偏爱它的理由

— Ivo Flipse 2012年

@IvoFlipse对问题的回答是“固定均值后如何固定方差？” 本质上是Hilmar接受的答案所说的，并经注释修正：通过缩放固定方差，然后重新确定均值，或者更好的是，不要先确定均值，因为您必须重新确定以后再说首先通过缩放确定方差，然后确定均值。OP并不表示他/她根本对更好的方法不感兴趣，甚至没有批评nibot的链接，甚至没有Box-Muller方法的代码。所以我将保持现状。

— Dilip Sarwate 2012年

Answers:

您的初始算法会创建一个随机变量，该变量在0和1之间均匀分布。其方差为1/12。如果将这些NUM_GAUSSIAN_SUMS实例的和相加，则方差为NUM_GAUSSIAN_SUMS/12。为了获得目标方差，V您需要将求和后的随机变量乘以sqrt(V*12/NUM_GAUSSIAN_SUMS)。

顺便说一句，模板对于浮点数和双精度数会很好地工作，但是任何不动点类型都存在很大的数值问题。

— 希尔玛
source

如何更改此随机变量的方差？

$c X$ $c$ $X$ $c^2$ $X$

— 埃姆雷
source

c X

$cX$

c

$c$

X

$X$

居中，重新缩放，然后恢复均值。缩放居中的随机变量不会影响均值（零）。

— Emre 2012年

还有另一种方式！

想一想，如果您想要其他分布而不是高斯分布怎么办？在这种情况下，您将无法真正使用中央极限定理；那你怎么解决呢？

有一种方法可以将统一随机变量转换为任意PDF。该方法称为逆变换法

$U[0-1]$

X = F_{X}^{- 1个} （ ü ）

$X = F_X^{-1} (U)$

$F_X (x)$

因此，您要做的就是将CDF逆函数应用于从统一rv样本中检索到的变量。

而且，与早期方法不同-这将不需要任何迭代，并且将不依赖于要使结果更接近高斯的迭代次数。

这是证明这一点的参考文献之一。

— 迪潘·梅塔（Dipan Mehta）
source

>还有另一种方式！的确如此，但与所考虑的问题无关，该问题特别是关于高斯随机变量的。高斯CDF或其反函数都不能使用有限数量的运算来以基本术语表示，因此无法使用建议的方法。

— Dilip Sarwate 2012年