根据其样本计算波形的PDF

不久前，我尝试了不同的方式来绘制数字波形，而我尝试做的一件事是代替幅度包络线的标准轮廓，将其显示得更像示波器。这是示波器上的正弦波和方波：

最简单的方法是：

1. 在输出图像的每个水平像素中将音频文件分成一个块
2. 计算每个块的样本幅度直方图
3. 通过亮度将直方图绘制为像素列

它产生如下内容：

如果每个块中有很多样本，并且信号的频率与采样频率无关，则效果很好。例如，如果信号频率恰好是采样频率的整数倍，则采样将始终在每个周期中以完全相同的幅度发生，并且直方图将只是几个点，即使在这些点之间存在实际的重构信号也是如此。该正弦脉冲应与左上角一样平滑，但这不是因为它正好是1 kHz，并且采样始终出现在相同的点附近：

我尝试增加采样数以增加点数，但这并不能解决问题，仅在某些情况下有助于解决问题。

因此，我真正想要的是一种从其数字样本（幅度与时间）计算连续重构信号的真实PDF（概率与幅度）的方法。我不知道该使用什么算法。通常，函数的PDF是其反函数的导数。

PDF的sin（x）：$\frac{d}{dx} \arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

但是我不知道如何计算逆函数是多值函数的波，或者如何快速进行计算。将其分解为分支，计算每个的逆，取导数并将它们加在一起？但这很复杂，而且可能有更简单的方法。

该“内插数据的PDF”也适用于我进行GPS轨迹的核密度估计的尝试。它应该是环形的，但是因为它仅查看样本，而没有考虑样本之间的插值点，所以KDE看起来更像是一个驼峰而不是一个圆环。如果我们只知道样本，那么这就是我们所能做的最好的。但是样本并不是我们所知道的。我们也知道样本之间存在一条路径。对于GPS，没有像带宽有限的音频那样完美的Nyquist重建，但是基本思想仍然适用，插值函数有些猜测。

内插到原始速率的几倍（例如8倍过采样）。这使您可以假设分段线性信号。与无限分辨率，波形的连续sin（x）/ x内插相比，该信号的误差很小。

假设每对过采样值都有一条从一个值到下一个值的连续线。使用之间的所有值。这为您提供了一个从y1到y2的水平细切片，可以将其累积为任意分辨率PDF。每个矩形概率片都必须缩放到1 / nsamples区域。

即使在采样周期和波形之间存在基本关系的情况下，使用样本之间的线而不是样本本身也可以防止“ spikey” PDF。

实际上，我要用的是Jason R的“随机重采样器”，而后者又是yoda随机采样的基于预采样信号的实现。

我已经对每个两个样本之间的一个随机点使用了简单三次插值。对于原始合成音（从饱和的，无带宽限制的方形信号+偶次谐波衰减到正弦），它看起来像这样：

让我们将其与更高采样率的版本进行比较，

和一个具有相同采样率但没有插值的怪异对象。

此方法的显着伪像是方形区域中的过冲，但这实际上是经过Sinc滤波的信号的PDF（如我所说，我的信号没有带宽限制），并且看起来也更好如果是音频信号，则比峰值高。

代码（Haskell）：

cubInterpolate vll vl v vr vrr vrrr x
    = v*lSpline x + vr*rSpline x
      + ((vr-vl) - (vrr-vll)/4)*ldSpline x
      + ((vrr-v) - (vrrr-vl)/4)*rdSpline x
     where lSpline x = rSpline (1-x)
           rSpline x = x*x * (3-2*x)
           ldSpline x = x * (1 + x*(x-2))
           rdSpline x = -ldSpline (1-x)

                   --  rand list   IN samples  OUT samples
stochasticAntiAlias :: [Double] -> [Double] -> [Double]
stochasticAntiAlias rs (lsll:lsl:lsc:lsr:lsrr:[]) = []
stochasticAntiAlias (r:rLst) (lsll:lsl:lsc:lsr:lsrr:lsrrr:t)
    = ( cubInterpolate lsll lsl lsc lsr lsrr lsrrr r )
          : stochasticAntiAlias rLst (lsll:lsl:lsc:lsr:lsrr:lsrrr:t)

rand list 是范围为[0,1]的随机变量的列表。

尽管您的方法在理论上是正确的（并且对于非单调函数需要稍作修改），但是要计算泛型函数的逆函数极其困难。正如您所说，您必须处理分支点和分支切口，这是可行的，但是您真的不想这么做。

正如您已经提到的，常规采样对相同的点集进行采样，因此，在不采样的区域（即使满足奈奎斯特标准），很容易受到估计不佳的影响。在这种情况下，较长时间的采样也无济于事。

通常，在处理概率密度函数和直方图时，从随机抽样的角度考虑要比常规抽样更好（请参见链接的答案以获取介绍）。通过随机抽样，可以确保每个点被“命中”的可能性均等，并且是估计pdf的更好方法。

$f(x)=\sin(20\pi x) + \sin(100\pi x)$$f_s=1000$$f_N=100$$1000$ 每秒采样（均匀分布）（此处我不使用Hz，因为这意味着不同的含义），持续30秒给出了右侧的图（相同的装仓）。

您可以轻松地看到，尽管它很吵，但是它比实际的PDF更好，比右边的PDF更近似，后者在多个间隔中显示零，而在其他多个间隔中则显示较大的误差。通过延长观察时间，您可以减小右侧观察值的方差，最终在大观察值的范围内收敛到精确的PDF（黑色虚线）。

核密度估计

估计波形PDF的一种方法是使用核密度估计器。

$x(n)$$K(\mathrm{x})$$\delta(\mathrm{x} - x(n))$$\hat{P}$

更新：有趣的其他信息。

$x(n)$$n= 0,1,...,N-1$$X(k)$

$X(k)$$e^{\jmath 2\pi n k /N}$

因此，一个猜测什么你aftermight是卷积每个傅立叶分量在一起的所有PDF文件：

$X(k)$$x(n)$

不过，还需要更多的思考！

正如您在评论中指出的那样，能够仅使用样本和内插带限信号的Sinc函数的PDF来计算重构信号的直方图将很有吸引力。不幸的是，我认为这是不可能的，因为Sinc的直方图并没有信号本身具有的所有信息。遇到每个值的时域位置上的所有信息都会丢失。这使得无法对Sinc的缩放比例和时延版本的总和建模，这是您想要的，以便在不实际执行信号采样的情况下计算信号的“连续”或上采样版本的直方图上采样。

我认为您将插值作为最佳选择。您确实指出了几个使您不想这样做的问题，我认为可以解决：

• 计算费用：当然，这始终是一个相对的问题，具体取决于您要用于此目的的特定应用程序。根据您发布到已收集的效果图库的链接，我假设您要执行此操作以可视化音频信号。无论您是对实时应用程序还是脱机应用程序感兴趣，我都建议您为高效的插值器制作原型，并查看它是否真的太昂贵。多相重采样是一种灵活的好方法（您可以使用任何理性因素）。

• $\pi$

您需要平滑直方图（这将产生与使用核方法相似的结果）。究竟如何执行平滑操作需要进行实验。也许也可以通过插值来完成。除了平滑以外，我相信如果以某种方式对波形进行升采样，即采样频率“显着高于”输入中的最高频率，您也会得到更好的结果。在正弦波与采样频率相关的“棘手”情况下，这应该会有所帮助，使得直方图中只有几个bin会被填充。如果极端的话，足够高的采样率将为您提供良好的绘图而无需平滑。因此，将上采样与某种平滑相结合应能产生更好的图。

您以一个1kHz音调为例，该曲线图与您的预期不符。这是我的建议（Matlab /八度代码）

pixels_vertical = 100;
% This needs to be tuned to your configuration and acceptance
upsampling_factor = 16*(pixels_vertical/100); 
fs_original = 48000;
fsine = 1000; % in Hz
fs_up = upsampling_factor*fs_original;
duration = 1; % in seconds
x = sin(2*pi*fsine*[0:duration*fs_up]/fs_up);
period_in_samples = fs_up/fsine;
hist_points = linspace(-1,1,pixels_vertical);
istart = 1;
iend   = period_in_samples;
pixel_values = hist(x(istart:iend), hist_points);
% smooth pixel values
[b,a] = butter(2,0.2);
pixel_values_smooth = filtfilt(b,a,pixel_values);
figure;hold on;
plot(hist_points, pixel_values);
plot(hist_points, pixel_values_smooth,'r');

为您的1000Hz音调得到

您需要做的是根据您的喜好调整upsampling_factor表达式。

仍然不能100％确切地确定您的要求是什么。但是，使用上面的上采样和平滑原理，您将获得1kHz音调（由Matlab制作）。请注意，在原始直方图中，有许多零命中的bin。