使用FFT有效计算自相关

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我正在尝试在平台上计算自相关，其中我唯一可用的加速原语是（I）FFT。我有一个问题。

我在MATLAB中原型化了它。但是，我有点困惑。我以为它的工作原理如下（这是从内存中来的，如果我有一点错的话，我深表歉意）。

 autocorr = ifft( complex( abs( fft( inputData ) ), 0 ) )

但是，我得到的结果不同于使用该xcorr函数得到的结果。现在，我完全期望不要获得自动相关的左侧（因为这是右侧的反映，因此无论如何都不需要）。但是，问题是我的右手侧似乎在中点附近反射。这实际上意味着我得到的数据量约为预期的一半。

因此，我敢肯定我一定在做一些非常简单的错误，但我只是不知道该怎么做。

— 戈兹
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小心。除非数据是确定性的，否则我们通常只能估计自相关序列。自相关估计有两种常见的版本：有偏和无偏。自相关估计的无偏结果在统计上是无偏的。但是，对于高阶滞后，方差可能非常大，如果在矩阵求逆中使用自相关估计，则会导致问题。偏倚的样本表现出统计偏倚，但差异较小（和均方差）。两者在统计上都是一致的。您上面有一个未归一化的有偏估计。

— 布赖恩2012年

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当然，非凡是正确的。FFT实现循环卷积，而xcorr（）基于线性卷积。另外，您还需要在频域中平方绝对值。这是一个处理所有零填充，移位和截断的代码段。

%% Cross correlation through a FFT
n = 1024;
x = randn(n,1);
% cross correlation reference
xref = xcorr(x,x);

%FFT method based on zero padding
fx = fft([x; zeros(n,1)]); % zero pad and FFT
x2 = ifft(fx.*conj(fx)); % abs()^2 and IFFT
% circulate to get the peak in the middle and drop one
% excess zero to get to 2*n-1 samples
x2 = [x2(n+2:end); x2(1:n)];
% calculate the error
d = x2-xref; % difference, this is actually zero
fprintf('Max error = %6.2f\n',max(abs(d)));

— 希尔玛
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哇，好漂亮。使用上述方法，我的音高跟踪器的纯C版本（单线程，无SIMD）在0.8秒内运行，而基于Intel性能基元的版本在0.4秒内运行。太棒了！谢谢

— Goz 2012年

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$2N - 1$ $N$ $N - 1$

— 披巾
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$N$ $2N-1$ $[-(N-1), N-1]$ $0$

$2N-1$ $2N-1$ $2N-1$ $2N-1$

$N$ $2N-1$ $N$

$N-1$ $N$ $2N-1$ $0$ $2N-1$ $2N-1$

简而言之：您应该这样做（以适应您的编程语言）：

autocorr = ifft( complex( abs(fft(inputData, n=2*N-1))**2, 0 ) )

或在MATLAB中：

autocorr = ifft(abs(fft(inputData, 2*N-1)).^2)

— 尚·路易斯·杜里厄
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xcorr函数的期望输出与FFT和IFFT函数的应用不同的主要原因是因为在将这些函数应用于信号时，最终结果是循环卷积的。

线性卷积和圆形卷积的主要区别可以在线性和圆形卷积中找到。

可以通过最初对信号进行零填充并截断IFFT的最终输出来解决该问题。

— 维努
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