相位延迟和群延迟之间有什么区别？

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我正在研究一些DSP，但无法理解相位延迟和群延迟之间的差异。

在我看来，它们都测量通过滤波器的正弦波的延迟时间。

我认为正确吗？
如果是这样，那么这两个测量值有何不同？
有人可以举一个例子，说明一种度量比另一种更有用吗？

更新

在朱利叶斯·史密斯（Julius Smith）的《数字滤波器简介》的前瞻中，我发现两种测量至少给出不同结果的情况：仿射相滤波器。我想这只是我的问题的部分答案。

— D b'
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您可能会发现此页面有用。它无需任何数学就可以解释组延迟及其影响。

— user5108_Dan 2013年

维基百科页面在数学上阐明了定义和区别。如果您有线性相位滤波器，则群延迟和相位延迟是相同的值，并且仅仅是滤波器的吞吐量延迟。对于具有任何一般滤波器一些在DC（即，不是一个HPF也不BPF具有增益

在DC分贝），并且不具有在DC极性反转，该群延迟和相位延迟是在相同的值，靠近DC。

- \infty

$-\infty$

— 罗伯特·布里斯托

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首先，定义是不同的：

相位延迟：（负数）相位除以频率
群时延：（相位的一阶导数）与频率的关系

用词表示：

相位延迟：频率此点的相位角
群延迟：该频率点附近的相位变化率。

何时使用一个或另一个取决于您的应用程序。组延迟的经典应用是调制正弦波，例如AM无线电。调制信号通过系统所花费的时间由群延迟而不是相位延迟给出。另一个音频示例可能是踢鼓：这主要是调制的正弦波，因此，如果您要确定踢鼓将延迟多少（并可能会及时抹去），则可以使用组延迟来查看它。

— 希尔玛
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“在此频率点上的绝对相位”会不会被称为“相位”？

— endolith

与“相对”相比，我的意思是“绝对”，但是我发现这可以与“绝对值”混淆。我将对其进行编辑

— Hilmar

最后一个重要的区别是：在某个频率

处的相位延迟是通过滤波器的频率为

的准正弦信号的相位的时间延迟。的群延迟是时间延迟包络或“ 基准正弦曲线”。

f

$f$

f

$f$

— 罗伯特·布里斯托

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它们都不能测量正弦波延迟了多少。相位延迟可以准确地测量出这一点。组延迟稍微复杂一点。想象一个短的正弦波，并在其上加上一个幅度包络，使其淡入淡出，例如高斯乘以正弦曲线。该封套具有一定的形状，尤其是具有代表该“封包”中心的峰。组延迟告诉您幅度包络将被延迟多少，特别是该数据包的峰值将经过多少。

我想通过回到组延迟的定义来思考：这是相位的导数。导数可让您在该点线性化相位响应。换句话说，在某个频率下，群延迟大致告诉您相邻频率的相位响应与该点的相位响应之间的关系。现在，请记住我们如何使用调幅正弦波。幅度调制将获取正弦波的峰值，并在相邻频率处引入边带。因此，以某种方式，群延迟为您提供了有关边带将相对于该载波频率如何延迟的信息，并且应用该延迟将以某种方式改变幅度包络的形状。

疯了吗？因果滤波器可能具有负的组延迟！让您的高斯乘以正弦曲线：您可以构建一个模拟电路，这样当您通过该信号发送信号时，包络的峰值将出现在输出中的输入之前。这似乎是一个悖论，因为过滤器似乎必须“看到”未来。这绝对很奇怪，但是要想一想，是因为信封的形状非常可预测，因此过滤器已经具有足够的信息来预测将要发生的情况。如果在信号中间插入一个尖峰，则滤波器将无法预料到这一点。这是有关此的非常有趣的文章：http : //www.dsprelated.com/showarticle/54.php

— 施纳尔夫
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当您说“ picture a ...”时，此处的实际图像会很有帮助。

— 加布里埃尔·斯台普斯

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对于那些仍然无法用粉笔写的人，这里是一个简单的例子

$v(t)$

v (t) \cdot \sin (ω t)

$v(t) \cdot \sin(\omega t)$

如果在传输线端测量此信号，则它可能会像这样：

v (t - τ_{g}) \cdot \sin (ω t + ϕ) = v (t - τ_{g}) \cdot \sin (ω (t - τ_{ϕ}))

$v(t-\tau_g) \cdot \sin(\omega t + \phi)\\ = v(t-\tau_g) \cdot \sin(\omega (t - \tau_\phi))$

$\phi$

$\sin(\omega t)$ $\tau_\phi = -\tfrac{\phi}{\omega}$

$v(t)$ $\tau_g = -\tfrac{d\,\phi}{d\,\omega}$

相位延迟仅是单个频率的传播时间，而群延迟是幅度失真（如果应用多个频率的阵列）的度量。

— 斯瓦普尼尔·帕里哈（Swapnil Parihar）
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任何滤波器的相位延迟是每个频率分量通过滤波器所经历的时间延迟量（如果信号由多个频率组成）。

群延迟是在频率的每个分量处遭受的复合信号的平均时间延迟。

— 赛义德
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我知道这是一个很老的问题，但是我一直在寻找互联网上群延迟和相位延迟的表达式。网上没有很多这样的推导，所以我想分享一下我发现的东西。另外，请注意，此答案更像是一种数学描述，而不是直观的描述。有关直观说明，请参考以上答案。因此，这里是：

a (t) = x (t) c o s (ω_{0} t)

$a(t) = x(t)cos(\omega_0 t)$

H (j ω) = e^{j ϕ (ω)}

$H(j\omega) = e^{j\phi(\omega)}$

A (j ω) = \frac{1}{2 π} X (j ω) * (π δ (ω - ω_{0}) + π δ (ω + ω_{0}))

$A(j\omega) = {1 \over 2\pi}X(j\omega) * (\pi\delta(\omega - \omega_0) + \pi\delta(\omega + \omega_0))$

A (j ω) = \frac{X (j (ω - ω_{0})) + X (j (ω + ω_{0}))}{2}

$A(j\omega) = {X(j(\omega-\omega_0))+X(j(\omega+\omega_0)) \over 2}$

B (j ω) = \frac{e^{j ϕ (ω)}}{2} (X (j (ω - ω_{0})) + X (j (ω + ω_{0})))

$B(j\omega) = {e^{j\phi(\omega)} \over 2} (X(j(\omega-\omega_0))+X(j(\omega+\omega_0)))$

ϕ (ω)

$\phi(\omega)$

x (t)

$x(t)$

ω_{0}

$\omega_0$

a (t)

$a(t)$

x (t)

$x(t)$

B (j ω)

$B(j\omega)$

ω_{0}

$\omega_0$

- ω_{0}

$-\omega_0$

ϕ (ω)

$\phi(\omega)$

ϕ (ω) = ϕ (ω_{0}) + \frac{d ϕ}{d ω} (ω_{0}) (ω - ω_{0}) = α + β ω

$\phi(\omega) = \phi(\omega_0) + \frac{d\phi}{d\omega}(\omega_0)(\omega - \omega_0) = \alpha + \beta\omega$

α = ϕ (ω_{0}) - ω_{0} \frac{d ϕ}{d ω} (ω_{0})

$\alpha = \phi(\omega_0) - \omega_0\frac{d\phi}{d\omega}(\omega_0)$

β = \frac{d ϕ}{d ω} (ω_{0})

$\beta = \frac{d\phi}{d\omega}(\omega_0)$

B (j ω)

$B(j\omega)$

\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{2} X (j (ω - ω_{0})) e^{j (ω t + α + β ω)} d ω

$\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2} X(j(\omega - \omega_0)) e^{j(\omega t + \alpha + \beta\omega)} d\omega$

ω - ω_{0}

$\omega - \omega_0$

ω^{'}

$\omega'$

\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{2} X (j (ω^{'})) e^{j ((ω^{'} + ω_{0}) (t + β) + α)} d ω^{'}

$\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2} X(j(\omega')) e^{j((\omega' + \omega_0) (t + \beta) + \alpha)} d\omega'$

x (t + β) \frac{e^{j (ω_{0} t + ω_{0} β + α)}}{2}

$x(t + \beta)\frac{e^{j(\omega_0 t + \omega_0\beta + \alpha)}}{2}$

α

$\alpha$

β

$\beta$

x (t + β) \frac{e^{j (ω_{0} t + ϕ (ω_{0}))}}{2}

$x(t + \beta)\frac{e^{j(\omega_0 t + \phi(\omega_0))}}{2}$

B (j ω)

$B(j\omega)$

ω_{0}

$\omega_0$

- ω_{0}

$-\omega_0$

ϕ (ω)

$\phi(\omega)$

x (t + β) \frac{e^{- j (ω_{0} t + ϕ (ω_{0}))}}{2}

$x(t + \beta)\frac{e^{-j(\omega_0 t + \phi(\omega_0))}}{2}$

b (t) = x (t + \frac{d ϕ}{d ω} (ω_{0})) c o s (ω_{0} (t + \frac{ϕ (ω_{0})}{ω_{0}}))

$b(t) = x(t + \frac{d\phi}{d\omega}(\omega_0))cos(\omega_0(t + \frac{\phi(\omega_0)}{\omega_0}))$

x (t)

$x(t)$

(τ_{g})

$(\tau_g)$

(τ_{p})

$(\tau_p)$

τ_{g} = - \frac{d ϕ}{d ω} (ω_{0})

$\tau_g = -\frac{d\phi}{d\omega}(\omega_0)$

τ_{p} = - \frac{ϕ (ω_{0})}{ω_{0}}

$\tau_p = -\frac{\phi(\omega_0)}{\omega_0}$

— Arkonaire
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