什么统计用于确定噪声中信号的存在？

我相信这是一个检测器问题：

似乎是一个简单的问题使我感到困惑。基本上，我有一个兴趣范围。如果信号能量存在于该感兴趣的频带内，那么我将对信号执行操作X。

我的问题是我不确定如何确定信号是否存在。这样，在执行FFT之后，我可以寻找峰值。

但是现在呢？

• 通常使用统计信息将此峰与频谱的周围均值进行比较吗？还是其他一些统计数据？
• 我使用什么统计量来简单地确定是否存在信号，然后从那里去？
• 如何设置此值？简单的阈值？

编辑基于反馈：

对于这种简单的情况，我假设一个高斯白噪声的音调。我试图解决的是：

1. 如何精确地生成ROC 曲线。是否必须先标记所有数据，然后针对多个阈值获得正确率和错误率？

2. SNR降低如何影响ROC曲线？移到对角线？

3. 对给定的ROC曲线进行自适应阈值处理是什么？

   3a。我可以看到哪些常见的自适应阈值技术？

这是最古老的信号处理问题之一，在介绍检测理论时可能会遇到一种简单的形式。存在解决该问题的理论和实践方法，取决于特定的应用，该方法可以重叠也可以不重叠。

$P_d$ $P_{fa}$

$P_d$$P_{fa}$$P_d = 1$$P_{fa} = 0$并称之为一天。如您所料，这并非易事。这两个指标之间存在固有的权衡。通常，如果您做某事可以改善一个方面，则您会观察到另一个方面的退化。

一个简单的例子：如果您正在寻找噪声背景下的脉冲，则可以决定在“典型”噪声水平之上设置一个阈值，并在检测统计数据中断时决定指示感兴趣信号的存在高于阈值。想要一个非常低的错误警报概率吗？将阈值设置得很高。但是，如果升高的阈值达到或高于预期信号功率水平，则检测的可能性可能会大大降低！

$P_d$$P_{fa}$

理想的检测器的ROC曲线应与曲线图的顶部相吻合。也就是说，它可以为任何误报率提供有保证的检测。实际上，检测器将具有类似于上图所示的特征。增加检测的概率也将增加误报率，反之亦然。

因此，从理论上讲，这些类型的问题归结为在检测性能和错误警报概率之间选择某种平衡。在数学上如何描述这种平衡取决于检测器观察到的随机过程的统计模型。该模型通常具有两个状态或假设：

通常，检测器观察到的统计量将具有两个分布之一，根据该分布，假设是正确的。然后，检测器进行某种测试，该测试用于确定真实的假设，从而确定信号是否存在。检测统计信息的分布是您根据应用选择的信号模型的函数。

常见的信号模型是在加性高斯白噪声（AWGN）的背景下检测脉冲幅度调制信号。尽管该描述有些特定于数字通信，但是许多问题可以映射到该模型或类似模型。具体来说，如果您正在寻找一个在AWGN背景下及时定位的恒定值音调，并且检测器观察到信号幅度，那么如果不存在音调，则该统计将具有瑞利分布，如果存在音调，则将具有Rician分布。

建立统计模型后，必须指定检测器的决策规则。根据您的应用程序的实际情况，这可能会像您期望的那样复杂。理想情况下，您将基于对两个假设下的检测统计量分布的了解，每个假设为真的概率以及对每个假设错的相对成本（我将在后面详细讨论）。贝叶斯决策理论可以用作从理论角度解决问题这一方面的框架。

$T$$T(t)$$t$

$T$$T=5$$P_d = 0.9999$$P_{fa} = 0.01$

您最终决定坐在性能曲线上的位置取决于您，这是重要的设计参数。选择正确的性能点取决于两种类型的可能故障的相对成本：检测器在发生信号时错过信号发生还是在未发生信号时记录信号发生是否更糟？一个例子：一个具有自动反击能力的虚拟弹道导弹探测器最好是具有非常错误的警报率；由于虚假的侦察而发动世界大战将是不幸的。相反情况的一个例子是用于生命安全应用的通信接收机。如果您想最大程度地确信自己不会收到任何遇险消息，

统计是似然比（LR），检验是LR与阈值的比较。如果你遵循放置在分母中的零假设的可能性的传统，你赞成的决定替代假说（反对的零假设）如果LR足够高。比率越高，您的信心就越大。如果您已经收集了数据，则将执行此测试。如果您想决定数据是零散到达的，则可以使用顺序测试，例如SPRT。

在这一阶段，您可能会从有关假设检验或决策理论的书中受益（更一般）。