为什么在过渡带较窄的数字滤波器的输出中出现振铃？

我正在为音频的频谱修改类型效果做一些“极限”运算。我正在使用砖墙式滤波器，以及非常窄带的通过和拒绝滤波器（vst插件），我想知道对于线性相位/最小相位滤波器的前置/后置“振铃”，我是否可以做些什么。不幸的是，我必须使用陡峭的eq斜率。我准备使用最小相位，因为它避免了预振铃。

具体来说，我想知道：

1. 在最小相位滤波器中，输入之后刚好导致脉冲响应振荡的原因是什么？

2. 这些振荡是否会导致通过陡峭的斜率滤波将通带之前和之后的“振铃”声传给您？

3. 振荡，因此振铃频率是否总是相同的频率，或者振铃频率是否在某种程度上取决于输入信号？

非常感谢您的专业知识。我期待任何回应。大叔

根据OP修订的问题和其他评论进行编辑。

我不同意@JasonR的说法，即滤波器振铃是由于Gibbs现象引起的。

如与Jason的答案相关的Wikipedia文章中所述，吉布斯现象是对周期但不连续的信号（例如方波或锯齿波）的傅里叶级数的截断和（前 项）的渐近行为的观察。Wikipedia文章举例说明了方波，它显示出随着越来越多的项（变大），截短的傅立叶和变得越来越接近方波。有迹象表明，发生绕开关瞬间，其中方波的转变从振荡高到低，或反之亦然，但这些越来越小如ñ ñ ñ →交通$n$$n$$n$变大。正如杰森正确指出的那样，振荡幅度变小，频率增加，（观察到的）持续时间也变小。总的来说，截断的傅立叶和看起来像在的极限处收敛到方波。$n \to \infty$

吉布斯现象是，观测即使在极限去，$n$$\infty$傅立叶级数之和不收敛到高值或者在开关瞬间，其中方波急剧变化值的低值。（会在所有其他时刻都发生收敛 ）。这 与滤波本身无关，除了可以将截断的傅立叶和视为具有方波输入的理想砖墙低通滤波器的输出之外。如果过滤器截止频率是前 ñ ñ$n$谐波通过不变，高次谐波被阻止，输出是前 项的截短傅立叶和。但是在极限情况下（即发生吉布斯现象的时候），没有滤波器：所有谐波都直接传递到输出而没有任何变化。因此，我不同意滤波器振铃是由于吉布斯现象引起的。$n$

那么为什么会发生振铃？ 所有（非平凡的）滤波器会响起，无论它们是否为砖墙，无论输入信号的形状如何，以及输入是连续的还是陡峭的过渡。原因是，如果输入在被停止的频带中（无论是全部还是大部分）具有能量，则该能量将有效地内部存储在滤波器中，并随着时间的流逝随着带内能量缓慢释放。在大多数情况下，此版本不会引起太多关注，因为它被存在的带内信号的响应淹没了。但是，如果带内信号相对突然改变（或停止），则仍必须释放以前存储的能量，这是在带内信号消失后观察到的振铃。用DSP来讲，FIR滤波器缓冲器即使在信号结束后仍会继续排空，因此即使在信号结束后输出仍会继续。由于锐截止过滤器具有较长的缓冲区（如果需要，则有许多双二阶节），因此清空需要很长时间，并且比更易于使用的过滤器清空要快得多。

您的观察结果就是吉布斯现象的一个例子。当您使用具有非常陡峭的过渡带的滤波器时，您会观察到输入信号中任何陡峭的过渡（例如，脉冲波形的边界）附近的滤波器输出（或“振铃”）中的振荡。振荡的表观“频率”取决于滤波器的带宽。为您增加滤波器的截止频率，振荡将更加本地化的时间（即“频率较高的”），但峰值超调确实没有变化。上面链接的维基百科文章在一半左右就有很好的解释。

1. 正如杰森（Jason）指出的那样，这里有一个基本的“不确定性原理”：频率非常窄的所有事物的时间都是很宽的，反之亦然。
2. 如果使用最少的过滤器，则不应有振铃，只有振铃。预振铃仅在线性相位滤波器中发生。预振铃比后振铃更容易听见，因此在这里最小的滤波器往往是更好的选择。它在测量上可能看起来很糟糕，但除非极端，否则由于人耳听觉系统的某些掩盖特性，振铃后的声音不太明显
3. 它们的振铃通常恰好在滤波器的转折频率处。即2 kHz低通滤波器将产生2 kHz振铃，因此频率是滤波器的函数，而不是内容的函数。内容虽然会有所不同。如果内容少或没有2 kHz，则振铃不会太大。

具有陡峭过渡和平坦通带的带通滤波器接近矩形。

一个FT域中的矩形是另一域中的Sinc函数。对于在时域中的矩形窗口在频域中创建频谱“泄漏”而言，这是正确的。或对于频域中的矩形窗口在时域中创建螺旋包。矩形（带宽）越窄，Sinc越宽。（并且Sinc函数在两侧都“响”）。对于一个域中给定的宽度，获得比另一个域中的Sinc更窄的能量范围的唯一方法是使用看起来比矩形更接近高斯的东西，例如没有陡峭的边缘。

现在考虑在一个域中移动该矩形（例如，更改带通滤波器的通带频率）。一个DFT域中的圆形移位是另一域中的线性相位旋转。具有复数共轭的总和可得到真实的响应，而两个相反且快速旋转的复数指数螺旋数据包将成为振铃时域响应。振铃的速度将与带通中心频率相关，而振铃的长度将与带宽的窄度和过渡陡度相关。如果在信封消亡之前，螺旋线旋转了超过半圈，则会出现振铃。使信封在一个域中更快消失的方法是在另一个域中使用更广泛的舍入函数。

第2部分：

如果您使用Remez或Parks-McClellen工具设计滤波器，则最终将得到等波纹响应。一个FT域中的正弦曲线是另一个FT域中的脉冲。因此，频域中的等波纹将是时域中的冲动或“滴答”。该“滴答”将通过频域中纹波的“频率”从脉冲响应的中心移开。Remez设计的滤波器越平坦，纹波越快，脉冲响应中的“滴答声”就越多。那是预响的一部分。使用较不积极的滤波器设计方法可以避免这种情况。