如何直观地理解卡尔曼增益？

该卡尔曼滤波算法的工作原理如下

初始化和。$\hat{\textbf{x}}_{0|0}$$\textbf{P}_{0|0}$

每次迭代$k=1,\dots,n$

预测

预测（先验）状态估计 预测（先验）估计协方差更新

$$\hat{\textbf{x}}_{k|k-1} = \textbf{F}_{k}\hat{\textbf{x}}_{k-1|k-1} + \textbf{B}_{k} \textbf{u}_{k}$$ $$\textbf{P}_{k|k-1} = \textbf{F}_{k} \textbf{P}_{k-1|k-1} \textbf{F}_{k}^{\text{T}} + \textbf{Q}_{k}$$

创新或度量残差 创新（或残差）协方差 最佳 卡尔曼增益 更新（后验）状态估计 更新（后验）估计协方差

$$\tilde{\textbf{y}}_k = \textbf{z}_k - \textbf{H}_k\hat{\textbf{x}}_{k|k-1}$$ $$\textbf{S}_k = \textbf{H}_k \textbf{P}_{k|k-1} \textbf{H}_k^\text{T} + \textbf{R}_k$$ $$\textbf{K}_k = \textbf{P}_{k|k-1}\textbf{H}_k^\text{T}\textbf{S}_k^{-1}$$ $$\hat{\textbf{x}}_{k|k} = \hat{\textbf{x}}_{k|k-1} + \textbf{K}_k\tilde{\textbf{y}}_k$$ $$\textbf{P}_{k|k} = (I - \textbf{K}_k \textbf{H}_k) \textbf{P}_{k|k-1}$$

卡尔曼增益表示误差相对于先前估计的相对重要性。$K_k$$\tilde{\textbf{y}}_k$$\hat{\textbf{x}}_{k|k-1}$

我想知道如何直观地理解卡尔曼增益的公式吗？考虑状态和输出为标量的情况，为什么增益更大，何时$K_k$

• $\textbf{P}_{k|k-1}$更大

• $\textbf{H}_k$较大

• $\textbf{S}_k$较小？

谢谢并恭祝安康！

我找到了一种直观思考Kalman Gain的好方法。如果你写这样$K$$K$

$\displaystyle \quad\ \bf{K_k} = \bf{P_k^-\, H_k^{\rm T} (H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k)^{-1}} = \bf{\frac {P_k^-\, H_k^{\rm T}}{H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k}}$

您将认识到，矩阵的相对大小（）和（）控制了滤波器对预测状态估计（）的使用与测量值（）之间的关系。$R_k$$P_k$$x_{k}⁻$$ỹ_k$

$\displaystyle \quad\ \lim\limits_{\bf{R_k \to 0}} \bf{{P_k^-\, H_k^{\rm T}} \over\ {H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k}}\ = \bf{H_k^{-1}}$

$\displaystyle \quad\ \lim\limits_{\bf{P_k \to 0}} \bf{{P_k^-\, H_k^{\rm T}} \over\ {H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k}}\ = \bf 0$

将第一个限制代入度量更新方程式

$\displaystyle \quad\ \bf{\hat x_k} = \bf{x_k^-} + \bf{K_k}(\bf{\tilde y_k}-\bf{H_k}\bf{x_k^-})$

这表明，当的大小较小时，意味着测量是准确的，状态估计主要取决于测量。$R$

当准确知道状态时，比小，并且滤波器主要忽略测量，而是依赖于从先前状态（）得出的预测。$H P^⁻ H^T$$R$$x_k⁻$

卡尔曼增益告诉您通过测量可以更改多少估计值。

${\bf S}_k$是测量值的估计协方差矩阵。这告诉我们测量中的“可变性”。如果太大，则意味着度量“变化”很多。因此，您对这些测量的信心很低。另一方面，如果小，变异性低，我们对测量的信心就会增加。当我们对自己的测量结果有信心时，就有信心所获得的信息足以使我们更新/更改状态估算值。因此，卡尔曼增益较高。${\bf z}_k$${\bf S}_k$

${\bf P}_k$是估计状态协方差矩阵。这告诉我们状态的“可变性” 。如果大，则意味着状态估计会发生很大变化。因此，您需要能够通过新的度量来更改估算值。结果，卡尔曼增益更高。${\bf x}_k$${\bf P}_k$

相反，如果小，则您知道状态不会变化太多，因此您不想每次都对估计值进行过多更改。@Jav_Rock的答案说，如果，则。换句话说，他暗示，如果您认为自己的状态不再变化，则不要尝试更改估计值。${\bf P}_k$${\bf P}_k \rightarrow 0$$K\rightarrow 0$

Jav_Rock明白了。其实，如果你写这样$\bf{K_k}$

$\displaystyle \quad\ \bf{K_k} = \bf{P_k^-\, H_k^{\rm T} (H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k)^{-1}} = \bf{H_k^-\frac {H_kP_k^-\, H_k^{\rm T}}{H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k}}$

分数的分子代表从模型传播的不确定性，而代表测量的不确定性。因此，分数的值代表我们应该信任测量值的程度，如Jav_Rock所述。$\bf{R_k}$

至于，它只是将观察结果转换回状态，因为它是我们要更新的状态，而不是观察结果。$\bf{H_k^-}$

最后，增益计算我们应该从观察中进行多少校正，并将观察的校正转换回状态的校正，从而导致状态估计的更新：$\bf{K_k}$

$\displaystyle \quad\ \bf{\hat x_k} = \bf{x_k^-} + \bf{K_k}(\bf{\tilde y_k}-\bf{H_k}\bf{x_k^-})$

我正在研究卡尔曼滤波器（KF）算法。我观察到，卡尔曼增益处理算法随时间的收敛，即算法校正和最小化残差的速度。

进入方程式，选择一个初始卡尔曼增益值，并将其从低到高变化，这可以为您提供一个近似值。