离散傅立叶变换的对称性

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我正在阅读里昂的书中的离散傅里叶变换一章-了解数字信号处理-不能理解关于对称性的最后一段。

DFT还有另外一个对称属性，这一点值得一提。在实践中，有时需要确定实际输入函数的DFT，其中输入索引 $n$ 定义为正值和负值。如果那个实数输入函数是偶数，那么总是实数和偶数；也就是说，如果实数，则通常为非零，而为零。相反，如果实输入功能是奇数，，则总是为零和是，通常为非零。 $X(m)$ $x(n) = x(−n)$ $X_{\textrm{real}}(m)$ $X_{\textrm{imag}}(m)$ $x(n) = −x(−n)$ $X_{\textrm{real}}(m)$ $X_{\textrm{imag}}(m)$

注意： $X(m) = X_{\textrm{real}}(m) + jX_{\textrm{imag}}(m)$

首先，“奇数”和“偶数”是什么意思？我怀疑这是输入信号中的样本数，但这使我想到了第二个问题，
为什么实输入函数为偶数为零，为什么实输入函数为奇数的为零且通常非零吗？ $X_{\textrm{imag}}(m)$ $X_{\textrm{real}}(m)$ $X_{\textrm{imag}}(m)$

discrete-signals dft

— 一些人
source

en.wikipedia.org/wiki/Even_and_odd_functions

— endolith 2012年

是的，在Hilmar回答之后，我了解到这就是本文所指的内容。

— someguy 2012年

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偶数和奇数是指附近的对称性。 $n = 0$

偶数表示；您可以通过简单地在行上镜像的零件来获得的零件。 $x[n] = x[-n]$ $n < 0$ $n > 0$ $n=0$

奇数表示 ; 您可以通过简单地在行上镜像的部分并将其乘以来获得的部分。 $x[n] = -x[-n]$ $n < 0$ $n > 0$ $n=0$ $-1$

余弦波是偶数，正弦波是奇数。

这些都是一般对称性的特例

如果它在一个域中是实数，则在另一个域中是共轭对称的。

共轭对称意味着实部是偶数，虚部是奇数。大多数人都知道实时域信号是共轭对称频谱，但它却反过来：共轭对称时域信号具有实值频谱。

— 希尔玛
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啊，描绘余弦波和正弦波有助于我理解奇数和偶数输入函数。谢谢。

— someguy 2012年

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希尔马的回答当然是完全正确的，但我认为里昂在《 OP》所引用的声明中没有提到几点（或者也许他以前谈论过这些，并选择在OP所引用的段落中不重复自己）。

离散傅里叶变换（DFT）通常被描述为将有限长度的序列转换为另一个序列长度为其中 $(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$ $N$ $(X[0], X[1], \ldots, X[N-1])$ $N$ 但这些公式还可以用时是外侧的范围，并且如果我们这样做，我们得出的结论，即长度 DFT可以看作是从一个周期性序列到另一个周期性序列

\begin{aligned} X [米] & = \sum_{ķ = 0}^{ñ - 1个} X [ķ] 经验值 （ \frac{- Ĵ 2 π 米 ķ}{ñ} ） ， 米 = 0 ， 1个 ， \dots ， ñ - 1个 ， \\ X [ñ] & = \frac{1个}{ñ} \sum_{米 = 0}^{ñ - 1个} X [米] 经验值 （ \frac{Ĵ 2 π ñ 米}{ñ} ） ， ñ = 0 ， 1个 ， \dots ， ñ - 1。 \end{aligned}

$\begin{align*} X[m] &= \sum_{k=0}^{N-1} x[k]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,\\ x[n] &= \frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1} X[m]\exp\left(\frac{j2\pi nm}{N}\right), ~ n = 0, 1, \ldots, N-1. \end{align*}$

m, n

$m, n$

[0, N - 1]

$[0, N-1]$

N

$N$

x [\cdot]

$x[\cdot]$

X [\cdot]

$X[\cdot]$ ，它们都在两个方向上都延伸到无穷大，并且

和

只是这些无限长序列中的一个周期。请注意，我们坚持认为

(x [0], x [1], \dots, x [N - 1])

$(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$

(X [0], X [1], \dots, X [N - 1])

$(X[0], X[1], \ldots, X[N-1])$

和

对于所有

和

。

x [n + i N] = x [n]

$x[n+iN] = x[n]$

X [m + i N] = X [m]

$X[m+iN] = X[m]$

m, n,

$m, n,$

i

$i$

当然，这不是实践中经常处理数据的方式。我们可能有很长的样本序列，然后将它们分解为适当长度块。我们计算的DFT 为 $N$ $(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$ 下一个块的DFT 为

X^{（ 0 ）} [米] = \sum_{ķ = 0}^{ñ - 1个} X [ķ] 经验值 （ \frac{- Ĵ 2 π 米 ķ}{ñ} ） ， 米 = 0 ， 1个 ， \dots ， ñ - 1个 ，

$X^{(0)}[m] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,$

(x [N], x [N + 1], \dots, x [2 N - 1])

$(x[N], x[N+1], \ldots, x[2N-1])$

前一组块的DFT

为

X^{（ 1个 ）} [米] = \sum_{ķ = 0}^{ñ - 1个} X [ķ + ñ] 经验值 （ \frac{- Ĵ 2 π 米 ķ}{ñ} ） ， 米 = 0 ， 1个 ， \dots ， ñ - 1个 ，

$X^{(1)}[m] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k+N]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,$

(x [- N], x [- N + 1], \dots, x [- 1])

$(x[-N], x[-N+1], \ldots, x[-1])$

等等，然后我们将用我们已经细分我们的数据各块的这些不同的DFT玩。当然，如果数据实际上是周期

周期性数据，则所有这些DFT都是相同的。

X^{（ - 1个 ）} [米] = \sum_{ķ = 0}^{ñ - 1个} X [ķ - ñ] 经验值 （ \frac{- Ĵ 2 π 米 ķ}{ñ} ） ， 米 = 0 ， 1个 ， \dots ， ñ - 1个 ，

$X^{(-1)}[m] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k-N]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,$

N

$N$

$x[n] = x[-n]$ $n$ $x[-1] = x[1]$ $x[-1] = x[-1+N] = x[N-1]$ $x[-n] = x[n] = x[N-n]$ $(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$

（ X [0] ， X [1个] ， \dots ， X [ñ - 1个] ） = （ X [0] ， X [1个] ， X [2] ， X [3] ， \dots ， X [3] ， X [2] ， X [1个] ）

$(x[0], x[1], \ldots, x[N-1]) = (x[0], x[1], x[2], x[3], \ldots, x[3], x[2], x[1])$

x [0]

$x[0]$

N

$N$

— 迪利普·萨瓦特（Dilip Sarwate）
source

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只是为了澄清偶数和奇数函数，

偶数：相对于y轴对称奇数：相对于原点对称

而且，在不赘述数学细节的情况下，实值函数的DFT是对称的，即所得傅立叶函数同时具有实部和虚部，它们是相对于0频率分量的镜像。如果您使用复杂功能的DFT，则不会发生这种情况。

— 纳雷什
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>偶数：相对于y轴对称奇数：相对于原点对称。您能否再解释一下这意味着什么，或者举例说明您认为分别为偶数和奇数的函数？我觉得也许您的定义允许一个函数同时为偶数和奇数。是这样吗？

— Dilip Sarwate 2012年

嗨Dilip，如果函数相对于y轴为镜像，则其为偶数。例如，余弦是相对于Y轴的镜像。它的偶数功能。对于奇数函数，它是对原点的反映。意味着您对X和Y都进行了反射。就像正弦函数一样。您可以只看图并判断其是偶数还是奇数函数。

— Naresh 2012年