高斯噪声下卡尔曼估计的统计性质。

对于具有独立高斯状态和输出噪声且对初始状态有完美猜测的线性状态空间模型，卡尔曼估计是否具有以下属性：哪里

Ë （ {\hat{X}}_{ķ | ķ} - X_{ķ} ） = 0

$E(\hat{x}_{k|k} - x_k) = 0$

P_{ķ | ķ} = V 一个 [R （ {\hat{X}}_{ķ | ķ} - X_{ķ} ） ， 要么 V 一个 [R （ {\hat{X}}_{ķ | ķ} ） ， 要么 V 一个 [R （ X_{ķ} ） ？

$P_{k|k} = Var(\hat{x}_{k|k} - x_k),\text{ or }Var(\hat{x}_{k|k}),\text{ or }Var(x_k) ?$

$x_k$ 是时间处的状态，它是随机的 $k$
$\hat{x}_{k|k}$ 和是卡尔曼估计，即卡尔曼滤波器的输出。 $P_{k|k}$

有参考文献提及这些吗？

谢谢！

kalman-filters

— 提姆
source

是的后验概率在时间估计的协方差矩阵？实际上并没有使用标准的符号，因此还不清楚“卡尔曼估计”是什么意思。

P_{k | k}

$P_{k|k}$

k

$k$

— 杰森R

@Jason：是的，是……

— Tim

Answers:

以下两个语句等同于说：

E ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k}) = 0

$E(\hat{x}_{k|k} - x_k) = 0$

（1）估计量是无偏的；和

P_{k | k} = V a r ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k})

$P_{k|k} = Var(\hat{x}_{k|k} - x_k)$

（2）估计量是一致的。

为了使滤波器达到最佳，这两个条件都是必要的-即，相对于某些标准，的最佳可能估计。 $\mathbf{x}_{k|k}$

如果（1）不为真，则均方误差（MSE）将为偏差加方差（在标量情况下）。显然，这仅比方差大，因此次优。

如果（2）不为真（即，滤波器计算的协方差与真实协方差不同），则滤波器也将是次优的。由于卡尔曼增益基于计算出的状态协方差，因此协方差的误差将导致增益误差。增益误差意味着测量的权重欠佳。

（碰巧的是，两个条件对于一个正确建模的滤波器都是成立的。建模中的错误，例如动态模型或噪声协方差也会使滤波器处于次优状态）。

资料来源：Bar-Shalom，尤其是第232-233页的5.4节。

— 达米安
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$x_k$ $k$

Ë （ {\hat{X}}_{ķ | ķ} ） = X_{ķ}

$E(\hat{x}_{k|k}) = x_k$

Ë （ {\hat{X}}_{ķ | ķ} - X_{ķ} ） = 0

$E(\hat{x}_{k|k} - x_k) = 0$

V 一个 [R （ X_{ķ} ） = 0

$Var(x_k) = 0$

和，

P_{ķ | ķ} = V 一个 [R （ {\hat{X}}_{ķ | ķ} ）

$P_{k|k} = Var(\hat{x}_{k|k})$

x_{k}

$x_k$

V a r ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k})

$Var(\hat{x}_{k|k} - x_k)$

背景

$x_k$ $w$ $Q$ $Q$ $GQG^T$ $G$

X_{ķ + 1个} = 一个 X_{ķ} + 乙 ü_{ķ} + G w

$x_{k+1} = Ax_k + Bu_k +Gw$

作为参考：卡尔曼的论文自己：http://160.78.24.2/Public/Kalman/Kalman1960.pdf

— iao
source

{x_{k}}_{k = - \infty}^{\infty}

$\left \{ x_k \right \}_{k=-\infty}^{\infty}$

x_{k}

$x_k$

x_{k}

$x_k$

@Drazick过程噪声通常用符号w表示，方差Q。xk是系统状态，状态是随机的没有任何意义；另一方面，估计值是一个随机变量，确实有意义

— aiao

x_{k + 1}

$x_{k+1}$

G w

$Gw$

x_{k + 1}

$x_{k+1}$

w

$w$

k

$k$

x_{k | k} \sim N ({\hat{x}}_{k | k}, P_{k | k})

$\mathbf{x}_{k|k} \sim N\left( \hat{\mathbf{x}}_{k|k}, \mathbf{P}_{k|k}\right)$