我了解傅里叶变换，这是一种数学运算，可让您查看给定信号的频率内容。但是现在，在我的通讯中。当然，教授介绍了希尔伯特变换。

我了解到，鉴于希尔伯特变换将FFT乘以或将时间函数与卷积，它在某种程度上与频率内容有关。$-j\operatorname{sign}(W(f))$$1/\pi t$

希尔伯特变换的含义是什么？通过将该变换应用于给定信号，我们可以获得什么信息？

希尔伯特变换的一种应用是获得所谓的分析信号。对于信号，其希尔伯特变换被定义为一个成分：$s(t)$小号（吨）$\hat{s}(t)$

我们获得的分析信号是复数值，因此我们可以用指数表示法表示它：

哪里：

$A(t)$是瞬时振幅（包络）

$\psi(t)$是瞬时相位。

那么这些有什么帮助呢？

瞬时幅度在许多情况下都可能有用（广泛用于查找简单谐波信号的包络）。这是脉冲响应的示例：

其次，基于相位，我们可以计算瞬时频率：

这在许多应用中也很有帮助，例如扫频的频率检测，引擎旋转等。

其他用法示例包括：

• 电信中的窄带信号采样（主要使用希尔伯特滤波器）。

• 医学影像。

• 到达方向的数组处理。

• 系统响应分析。

用外行术语来说，希尔伯特变换在用于真实数据时，通过将其转变为“特定的”复杂数据，从而为平稳现象提供“真实（瞬时）振幅”（以及更多）。例如，余弦本质上具有振幅1，您不会直接看到它，因为它在视觉上在和之间摆动，并定期消失。希尔伯特变换以“最一致的方式”对余弦进行补充，从而使所得的复数函数保留所有初始信息，加上其“振幅”直接是1的模数。全部由于频带限制和局域性的概念开始发挥作用，因此上述操作需要谨慎。$\cos(t)$$-1$$1$$\cos(t)+i\sin(t)$

Hilbert变换（以及更高维的Riesz变换）可能是更基本的工具。我很喜欢Steven G.Krantz撰写的《谐波分析的探索与复函数理论的应用》和《海森堡小组》第二章的序言：

序言：毫无疑问，希尔伯特变换是分析中最重要的算子。它出现在许多不同的环境中，所有这些环境都以深刻而有影响力的方式交织在一起。最终的结果是，维度1中只有一个奇异积分，这就是希尔伯特变换。其哲学思想是，所有重要的分析问题都归结为一个奇异积分。在第一维中只有一个选择。

信号/图像处理的应用众多，这可能是由于其基本特性：瞬时幅度/频率估计，仅因果关系构造因果滤波器（Kramers-Krönig关系），小冗余2D方向小波，不变位移边缘检测，等等

我还会建议F. King（2009年，希尔伯特（Hilbert）变换）的两卷。

转换（FT或Hilbert等）不会从无到有创建新信息。因此，“您获得的信息”，或一维/实际信号的希尔伯特变换所提供的合成复杂信号中的附加维，是对该信号中每个点的局部环境进行汇总的一种形式点。

诸如局部相位和包络幅度之类的信息实际上是关于围绕每个局部点的信号的某个宽度或范围（直至无限范围）的信息。希尔伯特变换在根据一维实数信号生成复杂分析信号的一个分量时，会将信号周围范围内的一些信息压缩到信号的每个单点上，从而使人们可以做出更多决策（例如，对比特进行解调） ，在每个局部（现在很复杂）的点或样本上绘制一个包络幅度等图形，而不必重新扫描和/或处理每个信号上某个宽度的新（小波，Goertzel窗口等）窗口点。

希尔伯特变换产生的分析信号在许多信号分析应用中很有用。如果先对信号进行带通滤波，则分析信号表示形式将为您提供有关信号局部结构的信息：

• phase表示该点的局部对称性，其中0为正对称（峰值），为负对称（波谷），为反对称（上升/下降沿）。$\pi$$\pm \pi/2$
• 振幅表示该点处的结构强度，与对称性（相位）无关。

此表示已用于

• 通过局部能量（幅度）进行特征检测
• 使用阶段进行特征分类
• 通过相位一致性进行特征检测

使用Riesz变换，例如单基因信号，它也已经扩展到了更高的维度。

实施希尔伯特变换使我们能够基于某些原始实值信号创建分析信号。在通讯世界中，我们可以使用分析信号轻松，准确地计算原始实值信号的瞬时幅度。该过程用于AM解调。同样从解析信号中，我们可以轻松而准确地计算原始实值信号的瞬时相位。该过程在相位和FM解调中均使用。您的教授在介绍希尔伯特变换时是正确的，因为它在通讯系统中是如此有用。

已经有了不错的答案，但是我想补充一点，在数字域中将信号转换为其解析版本很容易（所需的半带滤波器其系数的一半等于零），但是一旦到达，就可以降低采样率一半，本质上将处理分为实路径和虚路径。显然，这是有成本的，并且需要处理一些交叉项，但是通常，当时钟速率是一个因素时，这在硬件实现中很有用。

正如在其他答案中已经解释的那样，希尔伯特变换用于获取无源信号，该无源信号可用于找到信号的包络和相位。

看希尔伯特变换的另一种方法是在频域中。由于实际信号具有相同的正负频率分量，因此在分析中该信息是多余的。

希尔伯特变换用于消除负频率部分，并使正频率部分的幅度加倍（以保持功率不变）。

在这里，设计的希尔伯特变换滤波器本质上是带通的，可以使50MHz至450MHz的频率通过。输入是频率等于200MHz和500MHz的两个正弦信号的总和。

从PSD图中，我们可以看到200MHz信号的负频率分量衰减了，而500MHz信号通过了。

这个问题已经有很多很好的答案，但是我想在本页中包含这个非常简单的示例和说明，这些示例和说明极大地阐明了希尔伯特变换的概念和有用性：

没有负频率分量的信号称为分析信号。因此，在连续时间内，每个分析信号 都可以表示为$z(t)$

$$\displaystyle z(t) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{\infty}Z(\omega)e^{j\omega t}d\omega$$ 其中是复系数（设置幅度和相位在频率处的正频复合正弦波。可以 通过简单地生成相位正交分量将任何真实的正弦曲线转换为正频复正弦曲线。作为``虚构部分''：$Z(\omega)$$\exp(j\omega t)$$\omega$$A\cos(\omega t + \phi)$$A\exp[j(\omega t + \phi)]$$A\sin(\omega t + \phi)$

$$\displaystyle A e^{j(\omega t + \phi)} = A\cos(\omega t + \phi) + j A\sin(\omega t + \phi)$$ 相位正交分量可以从通过简单的四分之一周期时移即可实现同相分量。对于可以表示为许多正弦波之和的更复杂的信号，可以构造一个将每个正弦波分量偏移四分之一周期的滤波器。这称为希尔伯特变换滤波器。令表示在时间应用于信号的希尔伯特变换滤波器的输出。理想情况下，该滤波器在所有频率上的幅值为，并在每个正频率上引入的相移，而在处引入${\cal H}_t\{x\}$$t$$x$$1$$-\pi/2$$+\pi/2$在每个负频率。当实数信号及其希尔伯特变换用于形成新的复数信号，信号是对应于实际信号的（复杂）分析信号。换句话说，对于任何实信号，相应的分析信号具有所有“负频率”的特性的已被“过滤掉”。$x(t)$$y(t) = {\cal H}_t\{x\}$$z(t) = x(t) + j y(t)$$z(t)$$x(t)$$x(t)$x （t $z(t)=x(t) + j {\cal H}_t\{x\}$$x(t)$

（免责声明：我不是该页面的作者）